بين أن جداء $\displaystyle{\displaylines{m}}$ عدد متتابع قابل للقسمة على $\displaystyle{\displaylines{m ! }}$ .
أي ليكن $\displaystyle{\displaylines{m}}$ و $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عددان صحيحان طبيعيان . بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{m ! | n (n + 1) .... (n + m - 1)}}$
تذكير:$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, n ! = 1 \times 2 \times 3 ....... \times (n-1) \times n}}$اصطلاحا لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{0!=1}}$ (راجع :
لماذا مضروب 0 يساوي 1 (0 عاملي))
نعتبر المعاملات الثنائية (coefficients binomiaux) :
$\displaystyle{\displaylines{\forall (n, k) \in \mathbb{N}^2 \ , \ k \leq n \ : \ \binom{n}{k} = \textrm{C}^{k}_{n} = \frac{n!}{k! (n-k)!}}}$لاحظ أن
$\displaystyle{\displaylines{ \textrm{C}^{k}_{n} \in \mathbb{N} }}$لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}n \times (n + 1) .... (n + m - 1) & = & \dfrac{(n + m - 1) \times .... (n+1) \times n \times (n-1) \times ... 2 \times 1}{(n-1) ... 2 \times 1} \\ \\~ & = & \dfrac{(n + m - 1)!}{(n-1)!} \\ \\~ & = & m! \dfrac{(n - 1 + m)!}{m! (n-1)!} \\ \\~ & = & m! \textrm{C}^{m}_{n - 1 + m} \\ \\\end{array}}}$لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{m! | m! \textrm{C}^{m}_{n - 1 + m}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} \forall (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{*} \, : \, m ! | n (n + 1) .... (n + m - 1)}}}$
تطبيق:من أجل
$\displaystyle{\displaylines{m = 2}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{2 | n (n + 1)}}$
الرد على التعليق