لماذا مضروب 0 يساوي 1 (0 عاملي)

السبب الأول:

يحقق مضروب $\displaystyle{\displaylines{n}}$ العلاقة الترجعية التالية :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}n! & = \ n \times (n-1)! \, , \quad n \geq 3 \\2! & = \ 2\end{array} \right.}}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{2! = 2 \times 1! = 2}}$

وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{1! = 1}}$ ولدينا أيضا :

$\displaystyle{\displaylines{1! = 1 \times 0! = 1}}$

وبالتالي وحفاظا على نفس العلاقة فإنه لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\large 0! = 1}}$

---

السبب الثاني:

نعرف المجموعة $\displaystyle{\displaylines{A = \{x_1, x_2, \cdots , x_n\}}}$

نعلم أن عدد التأليفات لـ$\displaystyle{\displaylines{p}}$ عنصر من $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عنصر هو $\displaystyle{\displaylines{\text{C}_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n-p)!}}}$

نعلم أن عدد التأليفات لـ$\displaystyle{\displaylines{p}}$ عنصر من $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عنصر يمثل عدد المجموعات الجزئية

التي تحتوي على $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عنصر لمجموعة عدد عناصرها $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عنصر.

مثال : عدد عناصر المجموعة $\displaystyle{\displaylines{A}}$ هو $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عنصر.

ويمكن إيجاد $\displaystyle{\displaylines{n = \text{C}_{n}^{1} = \frac{n!}{1! (n-1)!}}}$ مجموعة جزئية عدد عناصرها هو $\displaystyle{\displaylines{1}}$, هذه المجموعات الجزئية هي $\displaystyle{\displaylines{\{x_1\}, \{x_2\}, \cdots , \{x_n\}}}$

لدينا عدد التأليفات لـ$\displaystyle{\displaylines{n}}$ عنصر من $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عنصر : $\displaystyle{\displaylines{\text{C}_{n}^{n} = \frac{n!}{n! 0!}}}$

وبما أن عدد المجموعات الجزئية التي تحتوي على $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عنصر لمجموعة تحتوي $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عنصر هو $\displaystyle{\displaylines{1}}$ فإن :

$\displaystyle{\displaylines{\text{C}_{n}^{n} = \frac{n!}{n! 0!} = 1}}$ وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{\large 0! = 1}}$

---

السبب الثالث:

ليكن $\displaystyle{\displaylines{z \in \mathbb{C}}}$

نعرف دالة غاما : $\displaystyle{\displaylines{\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \,\, , \quad \Re(z) > 0}}$

الدالة غاما تحقق العلاقة :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}\Gamma(z+1) & = \ z \, \Gamma(z) \, \\\Gamma(1) & = \ 1\end{array} \right.}}$

ويمكننا الإثبات (بالترجع) أن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2 \, , \Gamma(n) = (n-1)!}}$

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{\Gamma(1) = 1}}$ فإنه لدينا $\displaystyle{\displaylines{0! = 1}}$.

الدالة $\displaystyle{\displaylines{\Gamma}}$ هي تمديد مضروب $\displaystyle{\displaylines{n}}$ للأعداد المركبة.

نجد مثلا $\displaystyle{\displaylines{(0.5)! = \Gamma\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}}}$