ليكن $\displaystyle{\displaylines{a,b \in \mathbb{N}^{*}}}$.
نقوم بالقسمة الأقليدية للعدد $\displaystyle{\displaylines{a}}$ على $\displaystyle{\displaylines{b}}$ : $\displaystyle{\displaylines{a = bq + r \, , \quad 0 \leq r < b}}$, بين أن: $\displaystyle{\displaylines{q = \text{E}\left( \frac{a}{b} \right)}}$
بين أن $\displaystyle{\displaylines{\forall n,p,q \in \mathbb{N}^{*} \, : \quad \text{E}\left( \frac{\text{E}\left( \frac{n}{p} \right)}{q} \right) = \text{E}\left( \frac{n}{p q} \right)}}$
راجع الدرس :
دالة الجزء الصحيح
لدينا القسمة الأقليدية للعدد
$\displaystyle{\displaylines{a}}$ على
$\displaystyle{\displaylines{b}}$ :
$\displaystyle{\displaylines{a = bq + r \, , \quad 0 \leq r < b}}$وبالتالي
$\displaystyle{\displaylines{\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b}}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\text{E}\left( \frac{a}{b} \right) = \text{E}\left(q + \frac{r}{b}\right)}}$بما أن
$\displaystyle{\displaylines{q \in \mathbb{N}}}$ فإن
$\displaystyle{\displaylines{\text{E}\left(q + \frac{r}{b}\right) = q + \text{E}\left( \frac{r}{b} \right)}}$بما أن
$\displaystyle{\displaylines{0 \leq \frac{r}{b} < 1}}$ فإن
$\displaystyle{\displaylines{\text{E}\left( \frac{r}{b} \right) = 0}}$إذن
$\displaystyle{\displaylines{q = \text{E}\left( \frac{a}{b} \right)}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{n,p,q \in \mathbb{N}^{*}}}$نقوم بالقسمة الأقليدية للعدد
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ على
$\displaystyle{\displaylines{p}}$, لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{n = p a + b \, , \quad 0 \leq b \leq p - 1}}$حسب السؤال الأول لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\text{E}\left( \frac{n}{p} \right) = a}}$نقوم بالقسمة الأقليدية للعدد
$\displaystyle{\displaylines{a}}$ على
$\displaystyle{\displaylines{q}}$, لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{a = q c + d \, , \quad 0 \leq d \leq q - 1}}$حسب السؤال الأول لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\text{E}\left( \frac{a}{q} \right) = c}}$وبالتالي لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\text{E}\left( \frac{\text{E}\left( \frac{n}{p} \right)}{q} \right) = c}}$ولدينا
$\displaystyle{\displaylines{n = p (q c + d) + b = p q c + (p d + b)}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{0 \leq p d + b < pq - 1}}$وبالتالي
$\displaystyle{\displaylines{\text{E}\left( \frac{n}{p q} \right) = c}}$خلاصة :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n,p,q \in \mathbb{N}^{*} \, : \quad \text{E}\left( \frac{\text{E}\left( \frac{n}{p} \right)}{q} \right) = \text{E}\left( \frac{n}{p q} \right)}}$