Lagrida

دالة الجزء الصحيح

تعريف دالة الجزء الصحيح
نعرف دالة الجزء الصحيح لمتغير حقيقي $\displaystyle{\displaylines{x}}$ على أنها أكبر عدد صحيح نسبي $\displaystyle{\displaylines{n}}$ يحقق $\displaystyle{\displaylines{n \leq x}}$ :

$\displaystyle{\displaylines{\text{E} :\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{Z} \\x & \rightarrow & \text{E}(x) = \max\{n \in \mathbb{Z} \, | \, n \leq x\} \end{array}}}$


ترميز : نرمز لدالة الجزء الصحيح بـ $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(x)}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{\text{floor}(x)}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{[x]}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{\lfloor x \rfloor}}$.
وفي كل ما سيأتي سوف نستخدم $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(x)}}$ لتمثيل الجزء الصحيح للعدد $\displaystyle{\displaylines{x}}$.

خصائص : ليكن $\displaystyle{\displaylines{x \in \mathbb{R}}}$ انطلاقا من تعريف دالة الجزء الصحيح, لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\text{E}(x) = n & \iff & n \leq x < n + 1 \\ \\& \iff & x - 1 < n \leq x \end{array}}}$

أو بصيغة أخرى لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\forall x \in \mathbb{R} & : & x - 1 < \text{E}(x) \leq x \\ \\& : & \text{E}(x) \leq x < \text{E}(x) + 1 \end{array}}}$

أمثلة :
  • $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(5.36) = 5}}$
  • $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(1.999) = 1 }}$
  • $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(-3) = -3}}$
  • $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(-3.14) = -4}}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{n, m \in \mathbb{Z}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{x}}$ عدد حقيقي, لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}n < x & \implies & n \leq \text{E}(x) \\ \\x < m & \implies & \text{E}(x) < m \end{array}}}$

وبالتالي فإنه وإذا كان $\displaystyle{\displaylines{x \in ]n,m[}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{n}}$ و $\displaystyle{\displaylines{m}}$ أعداد صحيحة نسبية فإن $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(x) \in \{n,n+1,\cdots,m-1\}}}$.

ملاحظة : يجب الحذر مع أطراف المجالات في التعامل مع دالة الجزء الصحيح, ويجب دائما استحظار التعريف أن $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(x)}}$ تمثل أكبر عدد صحيح نسبي يحقق $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(x)=n \leq x}}$.

تمرين 1 : بين الخاصيات التالية :

$\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall n \in \mathbb{Z}) \, : \quad \text{E}(x + n) = n + \text{E}(x)}}$

$\displaystyle{\displaylines{(\forall x,y \in \mathbb{R}) \, : \quad \text{E}(x) + \text{E}(y) \leq \text{E}(x + y) \leq \text{E}(x) + \text{E}(y) + 1}}$

$\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall n \in \mathbb{N}^{*}) \, : \quad 0 \leq \text{E}(n x) - n \text{E}(x) \leq n - 1}}$


تصحيح التمرين : تمرين حول دالة الجزء الصحيح.

تمرين 2 : ليكن $\displaystyle{\displaylines{a,b \in \mathbb{N}^{*}}}$.
نقوم بالقسمة الأقليدية للعدد $\displaystyle{\displaylines{a}}$ على $\displaystyle{\displaylines{b}}$ : $\displaystyle{\displaylines{a = bq + r \, , \quad 0 \leq r < b}}$, بين أن : $\displaystyle{\displaylines{q = \text{E}\left( \frac{a}{b} \right)}}$

بين أن : $\displaystyle{\displaylines{\forall n,p,q \in \mathbb{N}^{*} \, : \quad \text{E}\left( \frac{\text{E}\left( \frac{n}{p} \right)}{q} \right) = \text{E}\left( \frac{n}{p q} \right)}}$

تصحيح التمرين : بين المتساويتين.

دراسة الدالة f(x) = E(x) :
fonction partie entière
رسم دالة الجزء الصحيح
الدالة E تزايدية على IR : ليكن $\displaystyle{\displaylines{x, y \in \mathbb{R}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{x \leq y}}$.
نعتبر المجموعتين $\displaystyle{\displaylines{A_x = \{ n \in \mathbb{Z} \, | \, n \leq x \} \quad A_y = \{ n \in \mathbb{Z} \, | \, n \leq y \}}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{x \leq y \implies A_x \subset A_y}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{\max A_x \leq \max A_y}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{\text{E}(x) \leq \text{E}(y)}}$

وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{E}}$ تزايدية على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$

الدالة E غير متصلة من أجل $\displaystyle{\displaylines{\color{DarkRed} n \in \mathbb{Z}}}$ : لدينا $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [n, n+1[}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \, , \, x \in [n,n+1[ \, : \quad \text{E}(x) = n}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{\lim_{\substack{ x \rightarrow n \\ x > n }} \text{E}(x) = \lim_{\substack{ x \rightarrow n \\ x > n }} n = n}}$

ولدينا $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in [n-1,n[ \, : \quad \text{E}(x) = n-1}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{\lim_{\substack{ x \rightarrow n \\ x < n }} \text{E}(x) = \lim_{\substack{ x \rightarrow n \\ x < n }} n-1 = n-1}}$

لاحظ أن النهاية على اليمين تخالف النهاية على اليسار وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{\text{E}}}$ غير متصلة في النقطة $\displaystyle{\displaylines{n}}$. إذن $\displaystyle{\displaylines{E}}$ ليست متصلة من أجل $\displaystyle{\displaylines{x \in \mathbb{Z}}}$.

الدالة E متصلة على يمين كل نقطة a من IR:

لدينا $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \, , \, x \in [n,n+1[ \, : \quad \text{E}(x) = n}}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{a \in [n,n+1[}}$ :

إذا كان $\displaystyle{\displaylines{a \in \mathbb{Z}}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{a=n}}$ وكما بينا سابقا $\displaystyle{\displaylines{\lim_{\substack{ x \rightarrow a \\ x > a }} \text{E}(x) = \lim_{\substack{ x \rightarrow a \\ x > a }} a = a = \text{E}(a)}}$

إذا كان $\displaystyle{\displaylines{a \notin \mathbb{Z}}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{\lim_{\substack{ x \rightarrow a \\ x > a }} \text{E}(x) = \lim_{\substack{ x \rightarrow a \\ x > a }} n = n = \text{E}(a)}}$

وبالتالي فإن الدالة E متصلة على يمين كل نقطة x من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$
التعليقات :
إضافة تعليق