لتكن $\displaystyle{\displaylines{ (u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ متتالية, عوض أن نكتب الصيغة التالية $\displaystyle{\displaylines{u_1 + u_2 + \cdots + u_n }}$ بهذا الشكل يمكننا أن نكتبها بشكل مكثف هكذا : $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} u_k}}$
إذا كان $\displaystyle{\displaylines{1 \le m \lt n}}$ فإن : $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{k=1}^{m} u_k + \sum_{k=m+1}^{n} u_k}}$
ملحوظة : المتغير $\displaystyle{\displaylines{k}}$ ليست له أية قيمة أو دخل في المجموع, ويمكن استعمال أي إسم نريد .مثال :
لتكن $\displaystyle{\displaylines{(u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(w_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$متتاليتان و $\displaystyle{\displaylines{\alpha }}$ عدد حقيقي, لدينا :
لدينا $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يبدأ من $\displaystyle{\displaylines{1}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يبدأ من $\displaystyle{\displaylines{1+3=4}}$ .
لدينا $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يصل إلى $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يصل إلى $\displaystyle{\displaylines{n + 3}}$.
لدينا $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يبدأ من $\displaystyle{\displaylines{1}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يبدأ من $\displaystyle{\displaylines{n-1}}$.
لدينا $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يصل إلى $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يصل إلى $\displaystyle{\displaylines{0}}$.
نضع $\displaystyle{\displaylines{m = k+p}}$ لتغيير المتغير في المجموع الأول . $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=0}^{n} u_{k+p} = \sum_{m=p}^{n+p} u_m = \sum_{k=p}^{n+p} u_k}}$
وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=0}^{n} (u_{k+p} - u_k) = ( \sum_{k=p}^{n+p} u_k ) - ( \sum_{k=0}^{n} u_k )}}$ إذا كان : $\displaystyle{\displaylines{ n < p}}$ فإنه لا يمكن الإختزال و المتساوية تبقى كذلك .
تمرين : ليكن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ عدد حقيقي و $\displaystyle{\displaylines{(e_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(s_n)_{n \in \mathbb{N}^{*}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(c_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ متتاليات بحيث : $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*}}}$ :
لتكن $\displaystyle{\displaylines{(u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ متتاليتان, و $\displaystyle{\displaylines{p \in \mathbb{N}}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ n \geq p \ : \ \sum_{k=p}^{n}(a_{k+1}-a_k) = a_{n+1}-a_p}}$
إذا استطعنا أن نكتب $\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \mathbb{N}, \ k \geq p \ : \ u_k=a_{k+1}-a_{k}}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{S_n = \sum_{k=p}^{n}u_k = a_{n+1}-a_p}}$.
نقول في هذه الحالة أن المتسلسلة $\displaystyle{\displaylines{S_n}}$ تلسكوبية (série télescopique).
كل ما قمنا به لحد الآن هو الجمع بمتغير واحد, يمكننا أيضا الجمع بمتغيرين أو أكثر, إذا جمعنا بمتغرين لدينا مجموع مزدوج (somme double). لتكن $\displaystyle{\displaylines{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(b_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(u_{i,j})_{i,j \in \mathbb{N}}}}$ متتاليات و$\displaystyle{\displaylines{n, p \in \mathbb{N}^{*}}}$, لدينا :
يمكننا أيضا كتابة $\displaystyle{\displaylines{\sum_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}} u_{i,j} = \sum_{1 \leqslant i, \ j \leqslant n}u_{i,j}}}$.
لتكن $\displaystyle{\displaylines{ (u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ متتالية, عوض أن نكتب الصيغة التالية $\displaystyle{\displaylines{u_1 \times u_2 \times \cdots \times u_n }}$ بهذا الشكل يمكننا أن نكتبها بشكل مكثف هكذا : $\displaystyle{\displaylines{\prod_{k=1}^{n} u_k}}$
إذا كان $\displaystyle{\displaylines{1 \le m \lt n}}$ فإن : $\displaystyle{\displaylines{\prod_{k=1}^{n} u_k = \left(\prod_{k=1}^{m} u_k \right) \times \left(\prod_{k=m+1}^{n} u_k\right)}}$
ملحوظة : المتغير $\displaystyle{\displaylines{k}}$ ليست له أية قيمة أو دخل في الضرب, ويمكن استعمال أي إسم نريد .مثال :