Lagrida

رمز المجموع والضرب



رمز المجموع

كتابة المجموع

شرح رمز المجموع
شرح رمز المجموع
لتكن $\displaystyle{\displaylines{ (u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ متتالية, عوض أن نكتب الصيغة التالية $\displaystyle{\displaylines{u_1 + u_2 + \cdots + u_n }}$ بهذا الشكل يمكننا أن نكتبها بشكل مكثف هكذا : $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} u_k}}$

و لدينا : $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=1}^{n} u_k = u_1 + u_2 + \cdots + u_n }}$

أمثلة :
  • $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=3}^{n-3} k = 3 + 4 + 5 + \cdots + (n-2) + (n-3) }}$
  • $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=0}^{n} x^k = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n }}$
  • $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{k^{x}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2^x} + \dfrac{1}{3^x} + \cdots + \dfrac{1}{(n-1)^x}}}$
إذا كان $\displaystyle{\displaylines{1 \le m \lt n}}$ فإن : $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{k=1}^{m} u_k + \sum_{k=m+1}^{n} u_k}}$

ملحوظة : المتغير $\displaystyle{\displaylines{k}}$ ليست له أية قيمة أو دخل في المجموع, ويمكن استعمال أي إسم نريد .مثال :

$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{i=1}^{n} u_i = \sum_{p=1}^{n} u_p}}$

الخصائص الجبرية للمجموع

لتكن $\displaystyle{\displaylines{(u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(w_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$متتاليتان و $\displaystyle{\displaylines{\alpha }}$ عدد حقيقي, لدينا :

  • $\displaystyle{\displaylines{ \sum (u_k + w_k) = \sum u_k + \sum w_k}}$

  • $\displaystyle{\displaylines{ \sum \alpha u_k = \alpha \sum u_k}}$

تغيير المتغير

نضع $\displaystyle{\displaylines{ a = u_5 + u_6 + u_7 + \cdots + u_{n+4} }}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{a = \sum_{k=5}^{n+4} u_k }}$

لدينا أيضا : $\displaystyle{\displaylines{a = \sum_{k=0}^{n-1} u_{k + 5} }}$

لاحظ أن المجموعان متساويان, والعملية التي قمنا بها هي تغيير المتغير .

كيف نقوم بتغيير المتغير ؟

مثال :
$\displaystyle{\displaylines{f_n = \sum_{k=1}^{n} u_k = u_1 + u_2 + \cdots + u_{n-1} + u_{n}}}$
نضع $\displaystyle{\displaylines{ p = k + 3 }}$.

لدينا $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يبدأ من $\displaystyle{\displaylines{1}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يبدأ من $\displaystyle{\displaylines{1+3=4}}$ .

لدينا $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يصل إلى $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يصل إلى $\displaystyle{\displaylines{n + 3}}$.

لدينا $\displaystyle{\displaylines{ k = p - 3 }}$

ثم نقوم بتعويض المتغيرات :

$\displaystyle{\displaylines{f_n = \sum_{p=4}^{n+3} u_{p-3}}}$
في الأخير يمكننا إرجاع المتغير $\displaystyle{\displaylines{k}}$ لأن اسم المتغير ليس له تأثير على المجموع :

$\displaystyle{\displaylines{f_n = \sum_{k=1+m}^{n+m} u_{k-m}}}$
بعد التمرن على هذه العملية لست مضطرا لكتابتها إذ يكفي عملها ذهنيا و وضع المجموع مباشرة .

تطبيق: بين أن
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : \ \sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n-1} u_{n-k}}}$
نضع $\displaystyle{\displaylines{k=n-p}}$.

لدينا $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يبدأ من $\displaystyle{\displaylines{1}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يبدأ من $\displaystyle{\displaylines{n-1}}$.

لدينا $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يصل إلى $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يصل إلى $\displaystyle{\displaylines{0}}$.
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{n} u_{k} & = & \displaystyle \sum_{p=n-1}^{0} u_{n-p} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=n-1}^{0} u_{n-k} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} u_{n-k}\end{array}}}$


تمرين : بسط التعابير التالية :
  • $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=0}^{n} (u_{k+1} - u_k) }}$

  • $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=0}^{n} (u_{k+p} - u_k) }}$
تمرين :
ليكن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ عدد حقيقي و $\displaystyle{\displaylines{(e_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(s_n)_{n \in \mathbb{N}^{*}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(c_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ متتاليات بحيث : $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*}}}$ :
  • $\displaystyle{\displaylines{e_n = \sum_{k=0}^{2 n} \frac{a^k}{k!} }}$

  • $\displaystyle{\displaylines{c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{a^{ 2k }}{(2 k)!} }}$

  • $\displaystyle{\displaylines{s_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^{2 k+1}}{(2 k + 1)!} }}$

بين أن $\displaystyle{\displaylines{ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, e_n = c_n + s_n }}$

المتسلسلات التلسكوبية

لتكن $\displaystyle{\displaylines{(u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ متتاليتان, و $\displaystyle{\displaylines{p \in \mathbb{N}}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ n \geq p \ : \ \sum_{k=p}^{n}(a_{k+1}-a_k) = a_{n+1}-a_p}}$
إذا استطعنا أن نكتب $\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \mathbb{N}, \ k \geq p \ : \ u_k=a_{k+1}-a_{k}}}$
فإن $\displaystyle{\displaylines{S_n = \sum_{k=p}^{n}u_k = a_{n+1}-a_p}}$.

نقول في هذه الحالة أن المتسلسلة $\displaystyle{\displaylines{S_n}}$ تلسكوبية (série télescopique).

أمثلة لمتسلسلات تلسكوبية : متسلسلات تلسكوبية.

أمثلة لمجاميع

ليكن $\displaystyle{\displaylines{n,p \in \mathbb{N}^{*}}}$ :
$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)}}$

$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n +1)}}$

$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{1}{2} n (n+1)\right)^2}}$

$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=p}^{n} x^{k} = x^{p} \frac{1-x^{n+1-p}}{1-x}}}$

$\displaystyle{\displaylines{\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)^{2}=\sum_{k=1}^{n}a_k^2 + 2 \sum_{1 \leqslant i \lt j \leqslant n} a_i a_j}}$

المجموع المزدوج

كل ما قمنا به لحد الآن هو الجمع بمتغير واحد, يمكننا أيضا الجمع بمتغيرين أو أكثر, إذا جمعنا بمتغرين لدينا مجموع مزدوج (somme double).
لتكن $\displaystyle{\displaylines{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(b_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(u_{i,j})_{i,j \in \mathbb{N}}}}$ متتاليات و$\displaystyle{\displaylines{n, p \in \mathbb{N}^{*}}}$, لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p}} u_{i,j} & = & \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{p} u_{i,j} \\& = & \displaystyle \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n} u_{i,j}\end{array}}}$
يمكننا أيضا كتابة $\displaystyle{\displaylines{\sum_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}} u_{i,j} = \sum_{1 \leqslant i, \ j \leqslant n}u_{i,j}}}$.

ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p}} a_i b_j & = & \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i \sum_{j=1}^{p}b_j \\ & = & \displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n}a_i \right)\left( \sum_{j=1}^{p}b_j \right)\end{array}}}$

لدينا أيضا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} u_{i,j} & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}u_{i, j} \\ \\ & = & \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}u_{i, j}\end{array}}}$

ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} u_{i,j} & = & \displaystyle \sum_{j=2}^{n}\sum_{i=1}^{j-1}u_{i, j} \\ \\ & = & \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}u_{i, j}\end{array}}}$


تمرين: ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}^{*}}}$.
لتكن $\displaystyle{\displaylines{d(n)}}$ عدد قواسم العدد $\displaystyle{\displaylines{n}}$ ($\displaystyle{\displaylines{d(3)=2, \ d(4)=3, \cdots}}$) لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{d(n) = \sum_{k=1}^{n}1_{k|n} \ , \quad 1_{k|n} = \left\{ \begin{array}{cl}1 & : \ \text{si } k|n \\0 & : \ \text{sinon}\end{array} \right.}}$

بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} d(k)=\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor}}$

بحيث $\displaystyle{\displaylines{x \to \left\lfloor x \right\rfloor}}$ تمثل دالة الجزء الصحيح.

تصحيح:
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}d(k) & = & \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}1_{j|k} \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}1_{j|k} \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\lfloor \frac{n}{j} \right\rfloor \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor\end{array}}}$

رمز الضرب

كتابة الضرب

لتكن $\displaystyle{\displaylines{ (u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ متتالية, عوض أن نكتب الصيغة التالية $\displaystyle{\displaylines{u_1 \times u_2 \times \cdots \times u_n }}$ بهذا الشكل يمكننا أن نكتبها بشكل مكثف هكذا : $\displaystyle{\displaylines{\prod_{k=1}^{n} u_k}}$

و لدينا : $\displaystyle{\displaylines{ \prod_{k=1}^{n} u_k = u_1 \times u_2 \times \cdots \times u_n}}$

أمثلة :
  • $\displaystyle{\displaylines{\prod_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times \cdots \times n}}$
  • $\displaystyle{\displaylines{\prod_{k=1}^{n} (1+x^k) = (1+x) \times (1+x^2) \times \cdots \times (1+x^n)}}$
  • $\displaystyle{\displaylines{\prod_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = \left( 1 + \frac{1}{1} \right) \times \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \times \cdots \times \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}}$
إذا كان $\displaystyle{\displaylines{1 \le m \lt n}}$ فإن : $\displaystyle{\displaylines{\prod_{k=1}^{n} u_k = \left(\prod_{k=1}^{m} u_k \right) \times \left(\prod_{k=m+1}^{n} u_k\right)}}$

ملحوظة : المتغير $\displaystyle{\displaylines{k}}$ ليست له أية قيمة أو دخل في الضرب, ويمكن استعمال أي إسم نريد .مثال :

$\displaystyle{\displaylines{\prod_{k=1}^{n} u_k = \prod_{i=1}^{n} u_i = \prod_{p=1}^{n} u_p}}$

الخصائص الجبرية للضرب

لتكن $\displaystyle{\displaylines{(u_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(w_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$متتاليتان :

  • $\displaystyle{\displaylines{\prod (u_k \times w_k) = \left(\prod u_k \right) \left(\prod w_k \right)}}$
التعليقات :
إضافة تعليق