نعتبر المتتالية المعرفة كالآتي :
$\displaystyle{\displaylines{u_n = \left\{ \begin{array}{cl}n u_{n-1} & , \ n \in \mathbb{N}^{*} \\1 & , \ n=0\end{array} \right.}}$
بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{\large {\forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_n = n!}}}$
$\displaystyle{\displaylines{n!}}$ هو مضروب $\displaystyle{\displaylines{n}}$ أو عاملي $\displaystyle{\displaylines{n}}$, بالفرنسية factorielle de n
تذكيـر :لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : \ n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n }}$مع الإصطلاح :
$\displaystyle{\displaylines{0!=1}}$ (راجع
لماذا مضروب 0 يساوي 1 (0 عاملي))
البرهان بالترجع Démonstration par récurrenceمن أجل
$\displaystyle{\displaylines{n = 0}}$ لدينا
$\displaystyle{\displaylines{u_0 = 1 = 0!}}$ إذن الخاصية صحيحة من أجل
$\displaystyle{\displaylines{n=0}}$الآن نفترض أن
$\displaystyle{\displaylines{u_n = n!}}$ ولنبين أن
$\displaystyle{\displaylines{u_{n+1} = (n+1)!}}$لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}u_{n+1} & = & (n+1) \times u_n \\ \\~ & = & (n+1) \times n! \quad (\text{hypothèse de récurrence}) \\ \\~ & = & (n+1)!\end{array}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{u_{n+1} = (n+1)!}}$إذن حسب البرهان بالترجع لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\large\color{DarkRed} \forall n \in \mathbb{N} \ : \ u_n = n!}}$
