Lagrida

عموميات حول الدوال

هذا الدرس سوف يتناول المفاهيم الأولية التي سوف نحتاجها للدروس المقبلة الأكثر تقدما، سوف نتناول مفاهيم حيز التعريف، رتابة دالة و تعاريف لرسم الدوال .


الدالة العددية

الدالة العددية
اللون الأخضر يمثل دالة عددية لأن كل عدد x له صورة وحيدة على الأكثر.
اللون الأحمر لا يمثل دالة عددية لأن العدد 0 له صورتان.

نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة عددية إذا وفقط إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}I \subset \mathbb{R} & \rightarrow & J \subset \mathbb{R} \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}}}$     تطبيق


راجع درس التطبيقات .

بمعنى أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة عددية إذا وفقط إذا كان لكل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ صورة على الأكثر في $\displaystyle{\displaylines{J}}$.

مجموعة التعريف

نعرف مجموعة تعريف دالة عددية $\displaystyle{\displaylines{f}}$ كما يلي : $\displaystyle{\displaylines{D_{f} = \{x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in \mathbb{R} \} }}$ .

مجموعة التعريف تمثل مجموعة انطلاق الدالة حتى يكون لـ$\displaystyle{\displaylines{f(x)}}$ معنى في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ .( أي$\displaystyle{\displaylines{f(x) \in \mathbb{R}}}$ ) .

$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}D_f \subset \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}}}$


أمثلة:
  • نعتبر الدالة : $\displaystyle{\displaylines{ f(x) = \frac{1}{x}}}$ , $\displaystyle{\displaylines{f}}$ لا يمكن أن تقبل صورة في $\displaystyle{\displaylines{0}}$ لأنه لا يمكن القسمة على الصفر . ومن غير ذلك فهي معرفة إذن $\displaystyle{\displaylines{D_f = \mathbb{R}^{*} }}$ .


  • الدالة $\displaystyle{\displaylines{f(x) = \sqrt{x}}}$ لا يمكن أن تقبل إلا القيم الموجبة من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ , إذن : $\displaystyle{\displaylines{D_f = \mathbb{R}_{+}}}$ .


  • الدالة الحدودية $\displaystyle{\displaylines{f(x) = a_n x^n + .... + a_1 x + a_0 }}$ معرفة على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ , $\displaystyle{\displaylines{D_f = \mathbb{R}}}$ .


  • الدالة $\displaystyle{\displaylines{f(x) = \tan(x) }}$ ليست معرفة في النقط $\displaystyle{\displaylines{ x_k = \frac{\pi}{2} + k \, \pi \, / \, k \in \mathbb{Z}}}$ . إذن : $\displaystyle{\displaylines{D_f = \mathbb{R} \smallsetminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k \, \pi \ \middle| \ k \in \mathbb{Z} \right\}}}$.




أمثلة:
نعتبر $\displaystyle{\displaylines{h}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ دالتان عدديتان معرفتان على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ .

الدالةمجموعة التعريف
$\displaystyle{\displaylines{\sqrt{h(x)}}}$$\displaystyle{\displaylines{x \in D_{f} \iff h(x) \geq 0}}$
$\displaystyle{\displaylines{ \frac{h(x)}{g(x)} }}$$\displaystyle{\displaylines{x \in D_{f} \iff g(x) \neq 0}}$
$\displaystyle{\displaylines{\ln(h(x)) }}$$\displaystyle{\displaylines{ x \in D_{f} \iff h(x) > 0 }}$


تطبيق : أوجد مجموعة تعريف كل من الدوال التالية.

  • $\displaystyle{\displaylines{f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}}}$


  • $\displaystyle{\displaylines{f(x) = \frac{1}{1+x^2}}}$


  • $\displaystyle{\displaylines{f(x) = \sqrt{1-\cos(2 \pi x)}}}$


  • $\displaystyle{\displaylines{f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x^2 - 7x + 10}}}$


  • $\displaystyle{\displaylines{f(x) = \frac{1}{|x| - 1}}}$

زوجية دالة

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة معرفة على تعريفها $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$. لدينا :


$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة زوجية $\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}\forall x \in D_f \ : \ -x \in D_f\\ f(-x) = f(x)\end{matrix}\right. \iff}}$



$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة فردية $\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}\forall x \in D_f \ : \ -x \in D_f\\ f(-x) = -f(x)\end{matrix}\right. \iff}}$

رتابة دالة

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة معرفة على حيز تعريفها $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$. وليكن $\displaystyle{\displaylines{I}}$ مجالا من $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$.

دالة تزايدية

نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تزايدية على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا وفقط إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{\forall (x,y) \in I^2 \ : \ x > y \implies f(x) \geq f(y)}}$


نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تزايدية قطعا على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا وفقط إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{\forall (x,y) \in I^2 \ : \ x > y \implies f(x) > f(y)}}$

دالة تناقصية

نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تناقصية على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا وفقط إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{\forall (x,y) \in I^2 \ : \ x > y \implies f(x) \leq f(y)}}$


نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تناقصية قطعا على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا وفقط إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{\forall (x,y) \in I^2 \ : \ x > y \implies f(x) < f(y)}}$

دالة مكبورة - مصغورة - محدودة

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة عددية مجموعة تعريفها $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$.

  • نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ مكبورة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي $\displaystyle{\displaylines{M}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in D_f \quad f(x) \leq M}}$


  • نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ مصغورة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي $\displaystyle{\displaylines{m}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in D_f \quad m \leq f(x)}}$


  • نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ محدودة إذا وفقط إذا وجد عددان حقيقيان $\displaystyle{\displaylines{m}}$ و $\displaystyle{\displaylines{M}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in D_f \quad m \leq f(x) \leq M}}$


مطارف دالة

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة عددية مجموعة تعريفها $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{x_0 \in D_f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{I}}$ مجال ضمن $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$.

1) القيمة القصوى :

نقول أن العدد $\displaystyle{\displaylines{f(x_0)}}$ هو القيمة القصوى المطلقة للدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ عند النقطة $\displaystyle{\displaylines{x_0}}$ إذا كان $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in D_f \quad f(x) \leq f(x_0)}}$.

نقول أن العدد $\displaystyle{\displaylines{f(x_0)}}$ هو قيمة قصوى نسبية للدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ عند النقطة $\displaystyle{\displaylines{x_0}}$ في المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا كان $\displaystyle{\displaylines{x_0 \in I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f(x) \leq f(x_0)}}$.

2) القيمة الدنيا :

نقول أن العدد $\displaystyle{\displaylines{f(x_0)}}$ هو القيمة الدنيا المطلقة للدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ عند النقطة $\displaystyle{\displaylines{x_0}}$ إذا كان $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in D_f \quad f(x) \geq f(x_0)}}$.

نقول أن العدد $\displaystyle{\displaylines{f(x_0)}}$ هو قيمة دنيا نسبية للدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ عند النقطة $\displaystyle{\displaylines{x_0}}$ في المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا كان $\displaystyle{\displaylines{x_0 \in I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f(x) \geq f(x_0)}}$.
التعليقات :
lisa
19/03/2022 06:05
......... كثر لذلك برائيي ان هذا التعريف خطا من اصلهاا f انا مقبلة على امتحان غدا و اريد معرفة تعريف دالة
safa
12/08/2022 06:21
هل يمكن أن تكون مجموعة التعريف لأي
دالة حقيقية أن تكون مجموعه خاليه أي تساوي فاي ولماذا
rachid
18/09/2022 01:45
لا يمكن بأي حال من الأحوال ذلك لأنه لا وجود لدالة بدون مجموعة تعريف....اذا تكون الدالة معرفة اما على مجموعة الاعداد الحقيقية أو على جزء منها..اذا لم توجد مجموعة تعريف فلا وجود لدالة
ماريا
25/01/2023 11:04
اف لي اكس تساوي 2اكس زائد 1 على اكس
اف لي اكس تساوي اكس اس3ناقص 3 اكس على 2
اف لي اكس تساوي اكس مربع ناقص جدر 1ناقص4 اكس الجواب من فضلكم
Doha
22/09/2023 11:24
من فضلكم ما الفرق بين الدالة المكبورة و القيمة القصوى
و الدالة المصغورة و القيمة الدنيا
إضافة تعليق