لتكن $\displaystyle{\displaylines{A}}$ و $\displaystyle{\displaylines{B}}$ مجموعتين غير فارغتين .
نقول أننا عرفنا تطبيقا من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ إذا عرفنا علاقة تربط كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ بعنصر وحيد$\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$.
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\iff (\forall x \in A) (\exists ! y \in B) : y = f(x) }}$$\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق .
تعاريف :
$\displaystyle{\displaylines{y}}$ يُسمى صورة $\displaystyle{\displaylines{x}}$ بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .
$\displaystyle{\displaylines{x}}$ يُسمى سابق $\displaystyle{\displaylines{y}}$ بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .
المجموعة $\displaystyle{\displaylines{A}}$ تُسمى مجموعة الإنطلاق .
المجموعة $\displaystyle{\displaylines{B}}$ تُسمى مجموعة الوصول .
ملحوظة 1 :$\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$$\displaystyle{\displaylines{\iff}}$ كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ له صورة وحيدة .
ملحوظة 2 : إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ فإنه يُمكن أن يكون لعنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ أكثر من سابق .
ملحوظة 3 : يجب التفريق بين $\displaystyle{\displaylines{f(x)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f}}$ : لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(x) \in B}}$ ، بينما $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تمثل التطبيق ككل، وهي تنتمي إلى فضاء التطبيقات المعرفة من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ . * مثال :
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ (كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ له صورة وحيدة ) .
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{5}}$, $\displaystyle{\displaylines{11}}$ و$\displaystyle{\displaylines{17}}$ ليس لهم سوابق بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{7}}$ لها سابقان : $\displaystyle{\displaylines{1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{3}}$
$\displaystyle{\displaylines{f=g \iff \left\{\begin{matrix}A=E , \ B=F\\(\forall x \in A) \ : \ f(x)=g(x)\end{matrix}\right.}}$
تمديد وقصور تطبيق
ليكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ و $\displaystyle{\displaylines{H \subset A}}$:
تعريف 1 :نقول أن $\displaystyle{\displaylines{g}}$ قصور $\displaystyle{\displaylines{f}}$ على $\displaystyle{\displaylines{H}}$ . و في هذه الحالة لدينا : $\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in H) \,\, g(x) = f(x)}}$ . بمعنى أنه عوض أن ندرس التطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ على $\displaystyle{\displaylines{A}}$ ، سوف نقتصر على $\displaystyle{\displaylines{H}}$ .
تعريف 2 :نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تمديد $\displaystyle{\displaylines{g}}$ على $\displaystyle{\displaylines{A}}$. وفي هذه الحالة لدينا : $\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in A) \,\, f(x) = g(x)}}$ . بمعنى أنه عوض أن ندرس $\displaystyle{\displaylines{g}}$ على $\displaystyle{\displaylines{H}}$ ، مددنا مجموعة الإنطلاق لتشمل $\displaystyle{\displaylines{A}}$.
تعريف 1 : ليكن $\displaystyle{\displaylines{H \subset A}}$ ، نعرف المجموعة $\displaystyle{\displaylines{f(H)}}$ كالتالي : $\displaystyle{\displaylines{f(H) = \{f(x) \ | \ x \in H\}}}$ .
$\displaystyle{\displaylines{f(H)}}$ تسمى الصورة المباشرة لـ$\displaystyle{\displaylines{H}}$، وهي تمثل مجموعة صور عناصر $\displaystyle{\displaylines{H}}$ بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .
تعريف 2 : ليكن $\displaystyle{\displaylines{K \subset B}}$ ، نعرف المجموعة $\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K)}}$ كالتالي : $\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K) = \{ x \in A \ | \ f(x) \in K\} }}$.
$\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K)}}$ تسمى الصورة العكسية لـ$\displaystyle{\displaylines{K}}$، وهي تمثل مجموعة سوابق عناصر $\displaystyle{\displaylines{K}}$ بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .
* مثال : نأخذ نفس المثال السابق, من أجل $\displaystyle{\displaylines{K=\{7, 23\} \subset B}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K) = \{1,2,3\}}}$ من أجل $\displaystyle{\displaylines{K=\{5, 11\}}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K) = \emptyset}}$
لتكن $\displaystyle{\displaylines{H \subset A}}$ و $\displaystyle{\displaylines{K \subset B}}$ .
بين أن $\displaystyle{\displaylines{H \subset f^{-1}(f(H))}}$
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}x \in H & \implies & f(x) \in f(H) \\ & \implies & x \in f^{-1}(f(H))\end{array}}}$
خلاصة : $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} H \subset f^{-1}(f(H)) }}}$
بين أن $\displaystyle{\displaylines{f(f^{-1}(K)) \subset K }}$
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{y \in f(f^{-1}(K)) \implies ( \exists x \in f^{-1}(K) \, : \, y = f(x)}}$ . . بما أن $\displaystyle{\displaylines{x \in f^{-1}(K)}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f(x) \in K}}$ . و بالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{y \in K}}$ .
خلاصة : $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f(f^{-1}(K)) \subset K }}}$
أنواع التطبيقات
كما بينا سابقا، يكون $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق إذا وفقط إذا كان لكل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ صورة وحيدة .
وقلنا أنه يمكن لعنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ يمكن أن يكون له أكثر من سابق .
الآن سوف ننظم هذه الخصائص في تعاريف ليسهل التعامل معها :
نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تبايني إذا وفقط إذا كان كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ له سابق على الأكثر :
بمعنى لكل $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ له سابق وحيد إذا وُجد .
بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تبايني فإن هذا يعني أن $\displaystyle{\displaylines{x = y}}$, علما أن $\displaystyle{\displaylines{y \in H}}$ فإن : $\displaystyle{\displaylines{x \in H}}$
إذن : $\displaystyle{\displaylines{(2) \qquad f^{-1}(f(H)) \subset H }}$ .
من $\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(2)}}$ نستنتج أن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}(f(H)) = H}}$.
* نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{\forall H \in \mathscr{P}(A) \, : \, f^{-1}(f(H)) = H}}$ .
إذن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}(f(H)) = \{y\}}}$, و بما أن $\displaystyle{\displaylines{\forall H \in \mathscr{P}(A) \, : \,f^{-1}(f(H)) = H}}$ فإن : $\displaystyle{\displaylines{\{y\} = \{x\}}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{x = y}}$.
وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تبايني .
التطبيق الشمولي
نقول إن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق شمولي إذا وفقط إذا كان كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ له سابق على الأقل .
بمعنى أن جميع عناصر $\displaystyle{\displaylines{B}}$ لها سابق واحد أو أكثر .
$\displaystyle{\displaylines{ \iff (\forall y \in B) \, (\exists x \in A) \ : \ y = f(x) }}$$\displaystyle{\displaylines{ f}}$تطبق شمولي.
بين أن : $\displaystyle{\displaylines{ \iff f(A) = B}}$$\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق شمولي
* نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق شمولي
نعلم أن $\displaystyle{\displaylines{(1) \qquad f(A) \subset B }}$ .
ليكن $\displaystyle{\displaylines{b \in B}}$.
لدينا $\displaystyle{\displaylines{ \implies (\forall y \in B) \, (\exists x \in A) \ : \ y = f(x)}}$$\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق شمولي .
بما أن $\displaystyle{\displaylines{b \in B}}$ فإنه $\displaystyle{\displaylines{( \exists x \in A )}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{b = f(x)}}$.
، وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{b \in f(A)}}$ ، إذن $\displaystyle{\displaylines{(2) \qquad B \subset f(A) }}$.
من $\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(2)}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(A) = B}}$.
* نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{f(A) = B}}$
و بالتالي $\displaystyle{\displaylines{\exists x \in A \ : \ f(x) = y}}$ .
هنا نكون قد بينا ما يلي : $\displaystyle{\displaylines{(\forall y \in B) \, (\exists x \in A) \ : \ y = f(x)}}$ .
إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق شمولي .
خلاصة : $\displaystyle{\displaylines{ {\color{DarkRed}\iff f(A) = B }}}$$\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f }}}$ تطبيق شمولي .
التطبيق التقابلي
نقول إن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تقابلي إذا وفقط إذا كان كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ له سابق وحيد .
$\displaystyle{\displaylines{ \iff (\forall y \in B) \, (\exists ! x \in A) \ : \ y=f(x)}}$$\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تقابلي.
يمكننا أن نبين بسهولة أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تقابلي $\displaystyle{\displaylines{ \Leftrightarrow }}$$\displaystyle{\displaylines{f}}$ تبايني وشمولي .
ملحوظة : طبيعة التطبيق (تبايني أو شمولي ) تتعلق بمجموعة الإنطلاق و مجموعة الوصول و صيغة التطبيق $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f(x) }}}$ .
صورة تمثل الدالة $\displaystyle{\displaylines{\small x \to x^2}}$ (باللون الأحمر ) . و الدالة العكسية لها على المجال $\displaystyle{\displaylines{\small [0, +\infty[}}$ : الجذر التربيعي لx (باللون الأزرق) . و يظهر كيف أن المنحيين متماثلان بالنسبة للمستقيم y=x .
لدينا $\displaystyle{\displaylines{-4 \in \mathbb{R} }}$ لكن $\displaystyle{\displaylines{-4}}$ ليس له سابق بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ لأن المعادلة $\displaystyle{\displaylines{x^{2} = -4 }}$ ليس لها حل في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ . إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ ليس تطبيق شمولي .
ملاحظة : لاحظ أنه لا يمكننا أن نتكلم عن $\displaystyle{\displaylines{f(g(x))}}$ حتى يكون $\displaystyle{\displaylines{g(x) \in A}}$، لهذا فإن الشرط $\displaystyle{\displaylines{g(G) \subset A}}$ يعتبر أساسيا حتى يكون للتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f \circ g}}$ معنى .
التطبيق العكسي
ليكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيقا تقابليا من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ :
ليكن $\displaystyle{\displaylines{y \in B}}$، بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ فإنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{x}}$ وحيد من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{y = f(x)}}$، لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{ f(x) = y \iff x = f^{-1}(y) }}$.
ملحوظة 1 : إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{A}}$ .
ملحوظة 2 :
$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}\forall x \in A & : \ f^{-1}(f(x))=x \\\forall x \in B & : \ f(f^{-1}(x)) = x\end{array} \right.}}$
* ملحوظة هامة : ليكن $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} y \in B}}}$. لا يمكننا التكلم عن $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f^{-1}(y) }}}$ حتى يكون التطبيق $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f}}}$ تقابلا من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$. بينما إذا كان $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} K \subset B}}}$ يمكننا دائما التكلم عن $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f^{-1}(K) }}}$ حتى و إن لم يكن التطبيق تقابلا .
* مثال : كما بينا سابقا لدينا التطبيق التالي تقابل :
جزاكم الله على المجهود . لكن لم أجد الإثبات للتعاريف . تعريف 2 :نقول أن f تمديد g على A . وفي هذه الحالة لدينا : (∀x∈A)f(x)=g(x) . بمعنى أنه عوض أن ندرس g على H ، مددنا مجموعة الإنطلاق لتشمل A