باستعمال
مبرهنة التزايدات المنتهية بين المتراجحتان التاليتان :
$\displaystyle{\displaylines{\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, |\sin(x) - \sin(y)| \leq |x-y|}}$$\displaystyle{\displaylines{\forall x > 1 \, : \, 1 - \frac{1}{x} < \ln(x) < x-1}}$استنتج أن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+} \, : \, 1 - \frac{1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1}}$لدينا دالة $\displaystyle{\displaylines{\sin}}$ متصلة وقابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ .
ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x, y) \in \mathbb{R}^2}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{x > y}}$
لدينا حسب مبرهنة التزايدات المنتهية $\displaystyle{\displaylines{ \exists c \in \mathbb{R} \, : \, |\sin(x) - \sin(y) | = |\sin^{'}(c)| \, |x-y| }}$
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{|\sin^{'}(c)| = |\cos(c)| \leq 1}}$
وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{|\sin(x) - \sin(y) | = \leq |x-y|}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, |\sin(x) - \sin(y)| \leq |x-y|}}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{x > 1}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{\ln}}$ متصلة وقابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{]0, + \infty[}}$ :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]0, + \infty[ \, : \, \ln^{'}(x) = \frac{1}{x}}}$
نطبق مبرهنة التزايدات المنتهية على المجال $\displaystyle{\displaylines{[1, x] }}$ :
$\displaystyle{\displaylines{\exists c \in ]1, x[ \, : \ln(x) - \ln(1) = \frac{x-1}{c}}}$
أي أن :
$\displaystyle{\displaylines{ \exists c \in ]1, x[ \, : \ln(x) = \frac{x-1}{c} }}$
بما أن : $\displaystyle{\displaylines{1 < \, c < \, x }}$ فإن :
$\displaystyle{\displaylines{1 - \frac{1}{x} < \, \frac{x-1}{c} < \, x - 1}}$
وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{1 - \frac{1}{x} < \ln(x) < \, x - 1}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x > 1 \, : \, 1 - \frac{1}{x} < \ln(x) < x-1}}$
لدينا العلاقة صحيحة : $\displaystyle{\displaylines{ \forall x > 1}}$
لنبين أن العلاقة صحيحة أيضا من أجل $\displaystyle{\displaylines{x \in ]0, 1]}}$ .
ليكن $\displaystyle{\displaylines{x \in ]0, 1[}}$ :
نضع $\displaystyle{\displaylines{t = \frac{1}{x} }}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{ t > 1}}$ , وبالتالي حسب السؤال السابق :
$\displaystyle{\displaylines{1 - \frac{1}{t} < \ln(t) < t-1}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{1 - x < \ln\left(\frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x} -1}}$
$\displaystyle{\displaylines{1 - x <- \ln(x) < \frac{1}{x} -1}}$
$\displaystyle{\displaylines{ 1 - \frac{1}{x} <\, \ln(x) < \, x - 1 }}$
وحالة التساوي تكون من أجل $\displaystyle{\displaylines{x = 1}}$ .
وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+} \, : \, 1 - \frac{1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1}}$
