لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة معرفة على حيز تعريفها $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$, وليكن $\displaystyle{\displaylines{I}}$ مجال مفتوح من $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{a \in I}}$.
نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ إذا وفقط إذا كانت النهاية التالية : $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$موجودة .
لاحظ أن النهاية موجودة $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R}}}$ وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{x \rightarrow x^2}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ ولدينا : $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \quad (x^2)^{'} = 2 x}}$
ملحوظة : اشتقاق دالة في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ عبارة عن نهاية. وبالتالي يمكننا تعريف الاشتقاق على يمين النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ وعلى يسارها.
تذكير : النهاية على يمين النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ هو عندما تؤول $\displaystyle{\displaylines{x}}$ إلى $\displaystyle{\displaylines{a}}$ مع $\displaystyle{\displaylines{x > a}}$ : أي تقترب $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{a}}$ من جهة اليمين, أما اليسار فالعكس وهو $\displaystyle{\displaylines{x < a}}$.
رسم يوضح النهاية على اليمين وعلى اليسار
الاشتقاق على اليمين $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{d}(a) = \lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$
الاشتقاق على اليسار $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{g}(a) = \lim_{x\rightarrow a^{-}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$
وتكون $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للاشتقاق فى نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$إذا وفقط إذا كانت قابلة للاشتقاق فى يمين $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و فى يسار النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{d}(a) = f^{'}_{g}(a)}}$.
مماس دالة في نقطة
رسم مبياني للدالة x² (اللون الأحمر) . ومماسها في النقطة x = 1 (اللون الأزرق ) . وكيف أن المنحييان يتقاربان جدا بجوار النقطة A .
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a \in I}}$ . إذن توجد دالة $\displaystyle{\displaylines{h}}$ معرفة بجوار مفتوح للنقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ (باستثناء $\displaystyle{\displaylines{a}}$) بحيث :
تذكير : جوار مفتوح لنقطة $\displaystyle{\displaylines{a \in \mathbb{R}}}$ هو المجال $\displaystyle{\displaylines{V(a) = ]a-h,a+h[}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{h > 0}}$ ويكون $\displaystyle{\displaylines{h}}$ عدد صغير موجب غير منعدم.
بكل بساطة الدالة $\displaystyle{\displaylines{h}}$ هي $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in V(a) \smallsetminus \{a\} \ : \ h(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f^{'}(a) }}$
مثال : نعتبر الدالة $\displaystyle{\displaylines{f(x) = x^2}}$, لنحدد معادلة المماس في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 1}}$ :
كما رأينا سابقا لدينا $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \quad f^{'}(x) = 2 x}}$
وبالتالي فإن معادلة المماس في $\displaystyle{\displaylines{a = 1}}$ هي $\displaystyle{\displaylines{ y = 2 (x-1) + 1 = 2x - 1 }}$
متى تكون دالة f غير قابلة للاشتقاق في نقطة a ؟
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a \in I}}$
1) الاشتقاق على اليمين يخالف الاشتقاق على اليسار :
كما قلنا سابقا فإن دالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تكون قابلة للإشتقاق في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ إذا وفقط إذا كانت قابلة للإشتقاق على يمين ويسار $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{d}(a) = f^{'}_{g}(a)}}$
وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على يمين $\displaystyle{\displaylines{0}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{d}(0)=2}}$ إذن معادلة المماس في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 0}}$ على اليمين : $\displaystyle{\displaylines{y = 2 x}}$
الإشتقاق على يسار $\displaystyle{\displaylines{a=0}}$ :
وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على يسار $\displaystyle{\displaylines{0}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{g}(0)=-2}}$ إذن معادلة المماس في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 0}}$ على اليسار : $\displaystyle{\displaylines{y = - 2 x}}$
خلاصة : لدينا الإشتقاق على اليمين يخالف الإشتقاق على اليسار, إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ غير قابلة للإشتقاق في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 0}}$.
التأويل الهندسي لاختلاف الإشتقاق على يسار وعلى يمين نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ هو اختلاف المماسين, ونقول أن النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$مزواة (point anguleu) لأن شكلها يظهر بوضوح في الرسم (شكل حاد).
2) النهاية $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$ غير موجودة أو غير منتهية :
وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ غير قابلة للإشتقاق على يمين النقطة $\displaystyle{\displaylines{a=\frac{1}{2}}}$.
التأويل الهندسي للانهائية الإشتقاق في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ يُترجم إلى أن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقبل مماس عمودي في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ معادلته $\displaystyle{\displaylines{x=a}}$, ويكون موجها نحو الأعلى إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(a) = +\infty}}$ وموجها نحو الأسفل إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(a) = -\infty}}$
الإشتقاق على مجال
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة معرفة على حيز تعريفها $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$, وليكن $\displaystyle{\displaylines{I}}$ مجال بحيث $\displaystyle{\displaylines{I \subset D_f}}$.
نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح$\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا وفقط إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق في كل نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ .ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$
ونقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على المجال المغلق$\displaystyle{\displaylines{I=[a,b]}}$ إذا وفقط إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح $\displaystyle{\displaylines{]a, b[}}$ و قابلة للإشتقاق على يمين $\displaystyle{\displaylines{a}}$ ويسار $\displaystyle{\displaylines{b}}$.
أمثلة :
الدالة الحدودية $\displaystyle{\displaylines{x \rightarrow a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$.
الدالتان $\displaystyle{\displaylines{\sin}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\cos}}$ قابلتان للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$
الدالة الجذرية (دالة حدودية مقسمومة على دالة حدودية) قابلة للإشتقاق على أي مجال ضمن مجموعة تعريفها.
الدالة $\displaystyle{\displaylines{\tan}}$ قابلة للإشتقاق على كل مجال ضمن $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R} \smallsetminus \left\{\frac{\pi}{2} +k \pi \ \middle| \ k \in \mathbb{Z} \right\}}}$
الدالة $\displaystyle{\displaylines{x \rightarrow \sqrt{x}}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{]0, +\infty[}}$
ترميز الإشتقاق
نرمز للمشتقة الأولى لدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ كالتالي $\displaystyle{\displaylines{f^{'}}}$. وللمشتقة الثانية $\displaystyle{\displaylines{f^{''}}}$.
أما المشتقة من الدرجة $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}^{*}}}$ كالتالي : $\displaystyle{\displaylines{f^{(n)}}}$ مع الإصطلاح $\displaystyle{\displaylines{f^{(0)} = f}}$.
ترميز آخر : هناك ترميز آخر يستعمل كثيرا في الفيزياء, يستعمل المعامل $\displaystyle{\displaylines{d}}$ :
لاحظ أنه إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f(x) = x}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{df(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (x+h-x) = \lim_{h \rightarrow 0} h }}$.
وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{dx = \lim_{h \rightarrow 0} h}}$
المشتقة من الدرجة $\displaystyle{\displaylines{n}}$ : $\displaystyle{\displaylines{ f^{(n)}(x) = \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}} }}$ .
الاشتقاق والاتصال
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة معرفة في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a \in I}}$ :
نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ إذا وفقط إذا كان $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)}}$.
تمرين : بين أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق في $\displaystyle{\displaylines{a}}$$\displaystyle{\displaylines{\Longleftarrow}}$$\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة في $\displaystyle{\displaylines{a}}$. بين أن العكس غير صحيح .
لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق في $\displaystyle{\displaylines{a}}$ إذن النهاية : $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$موجودة .
بما أن $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow a} x-a = 0}}$ فإن :
لدينا $\displaystyle{\displaylines{|x|}}$ متصلة في $\displaystyle{\displaylines{0}}$ وغير قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{0}}$ إذن العكس غير صحيح .
رسم لدالة ويرستراس على المجال [2, 2-] متصلة على R وغير قابلة للإشتقاق في أي نقطة.
خلاصة :$\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ .وبينا أن العكس غير صحيح بإعطاء مثال مضاد.
حتى نهاية القرن 19 كان الإعتقاد السائد أن دالة متصلة تكون قابلة للإشتقاق إلا في نقط محدودة ومعروفة .حتى جاء العالم الألماني برنارد ريمان وأعطى أول مثال لدالة متصلة على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$, لكن قابلة للإشتقاق في نقط خاصة $\displaystyle{\displaylines{x=\frac{p \pi}{q}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{p}}$ و $\displaystyle{\displaylines{q}}$ أعداد صحيحة فردية :
سنة 1872 أعطى العالم الألماني كارل ويرستراس مثال لدوال متصلة على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$, لكنها غير قابلة للإشتقاق إطلاقا في أية نقطة من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ :
مع $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{b}}$ عددان حقيقيان يحققان $\displaystyle{\displaylines{ab \geq 1}}$ حتى تكون المتسلسلة (serie) متقاربة.
العمليات الجبرية على الإشتقاق
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ دالتان قابلتان للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ . و $\displaystyle{\displaylines{\alpha}}$ عدد حقيقي :
لدينا $\displaystyle{\displaylines{f+g}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f \times g}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\alpha f}}$ دوال قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$, و $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I}}$ :
وإذا كانت $\displaystyle{\displaylines{g}}$ لا تنعدم على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\frac{1}{g}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\frac{f}{g}}}$ قابلتان للاشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I}}$ :
جميع هذه الخصائص يمكننا البرهنة عليها باستعمال تعريف الإشتقاق .
اشتقاق مركب دالتين
نعرف الدالتين $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{f(I) \subset J}}$ :
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl} I & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \rightarrow & f(x) \end{array} \quad \quad g:\begin{array}{rcl} J & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \rightarrow & g(x) \end{array}}}$
مركب الدالتين $\displaystyle{\displaylines{g \circ f}}$ معرف كالآتي :
$\displaystyle{\displaylines{g \circ f:\begin{array}{rcl} I & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \rightarrow & g(f(x)) \end{array}}}$
إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ قابلتان للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{J}}$ على التوالي, فإن $\displaystyle{\displaylines{g \circ f}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \, : \, (g \circ f )^{'} (x) = f^{'}(x) \times g^{'}( f (x))}}$
تمرين : لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ بين الآتي :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall n \in \mathbb{Z} ) \, (\forall x \in I) \, : \, (f^{n})^{'}(x) = n f^{'}(x) f^{n-1}(x) }}$ لاحظ أن الشرط $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f(x) \neq 0}}$ ضروري إذا كان $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد صحيح نسبي سالب .
لاحظ أن الشرط $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f(x) \neq 0}}$ ضروري إذا كان $\displaystyle{\displaylines{\alpha - 1 < 0 }}$ .
ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{Z}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{ x \in I}}$
نعتبر الدالة $\displaystyle{\displaylines{g(x) = x^n}}$ المعرفة على $\displaystyle{\displaylines{J}}$ .
$\displaystyle{\displaylines{J = \left\{ \begin{matrix}\mathbb{R} , \, n \in \mathbb{N} \\ \\\mathbb{R}^{*} , \, n \in \mathbb{Z}_{-}\end{matrix}\right. }}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ معرفة على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f(x) \neq 0}}$ إذا كان $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{Z}_{-}}}$ :
لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ قابلتان للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{J}}$ على التوالي و $\displaystyle{\displaylines{f(I) \subset J}}$ :
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{ \forall x \in J \, : \, g^{'}(x) = n \, x^{n-1} }}$ . إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \, : \, (g \circ f)^{'}(x) = (f^n)^{'} (x) = f^{'}(x) \times g^{'} \circ f (x) = f^{'}(x) \, n f^{n-1}(x)}}$
وبالتالي فإن :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall n \in \mathbb{Z} ) \, (\forall x \in I) \, : \, (f^{n})^{'} (x) = n f^{'}(x) f^{n-1}(x)}}$ نفس الطريقة مع السؤال الثاني مع مراعاة أن $\displaystyle{\displaylines{f \geq 0}}$ .
اشتقاق الدالة العكسية
تذكير: لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة ورتيبة قطعا (strictement monotone) على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$, إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J=f(I)}}$.
البرهان:
بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة على المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f(I)}}$ مجال من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$.
وبالتالي فإن المعادلة $\displaystyle{\displaylines{y=f(x)}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{y \in f(I)}}$ تقبل حلولا في $\displaystyle{\displaylines{I}}$, كما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ رتيبة قطعا على المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ يجعل هذا الحل وحيدا.
خلاصة:$\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J=f(I)}}$.
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة وقابلة للإشتقاق ورتيبة قطعا على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ :
لدينا إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J=f(I)}}$ :
إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f^{'}}}$ لا تنعدم في $\displaystyle{\displaylines{I}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{J}}$ و :
لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة وقابلة للإشتقاق ورتيبة قطعا على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$
إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J=f(I)}}$
إذا كان $\displaystyle{\displaylines{x_0 \in I}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f^{'}(x_0)}}$
بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(x_0) = y_0 \iff x_0=f^{-1}(y_0)}}$
نقوم بتغيير المتغير داخل النهاية $\displaystyle{\displaylines{y=f(x)}}$
بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة في $\displaystyle{\displaylines{x_0}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{x \rightarrow x_0 \iff y=f(x) \rightarrow f(x_0)=y_0}}$
وبالتالي فإنه إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق في $\displaystyle{\displaylines{x_0}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}}}$ قابلة للإشتقاق في $\displaystyle{\displaylines{f(x_0)}}$ إذا وفقط إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(x_0) \neq 0}}$.
وبما أن $\displaystyle{\displaylines{f^{'}}}$ لا تنعدم في $\displaystyle{\displaylines{I}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{J}}$ و :
مثال: دالة $\displaystyle{\displaylines{x \to \tan(x)}}$ متصلة وقابلة للإشتقاق وتزايدية قطعا على المجال $\displaystyle{\displaylines{\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}}$. وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{\tan}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{\tan\left(\, \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\,\right)=\mathbb{R}}}$.
لتكن دالة $\displaystyle{\displaylines{\arctan}}$ هي الدالة العكسية للدالة $\displaystyle{\displaylines{\tan}}$ على المجال $\displaystyle{\displaylines{\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}}$ , حسب ما سبق لدينا :
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$, و $\displaystyle{\displaylines{\alpha \in \mathbb{R}}}$.
الدالة
مجال الإشتقاق
اشتقاق الدالة
$\displaystyle{\displaylines{\ln(f(x)) }}$
$\displaystyle{\displaylines{\{x \in I \ | \ f(x) > 0\}}}$
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$, لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة ثابتة على $\displaystyle{\displaylines{I}}$$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ f^{'}(x) = 0 \iff}}$
$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة تزايدية على $\displaystyle{\displaylines{I}}$$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ f^{'}(x) \geqslant 0 \iff}}$
$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة تناقصية على $\displaystyle{\displaylines{I}}$$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ f^{'}(x) \leqslant 0 \iff}}$
صيغة ليبنيز Formule de Leibniz تعطينا طريقة لحساب الإشتقاق من الدرجة$\displaystyle{\displaylines{n}}$ لجداء دالتين . لدينا :
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ دالتان قابلتان للإشتقاق $\displaystyle{\displaylines{p}}$ مرة على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ .
$\displaystyle{\displaylines{ \forall n \in \mathbb{N} , \, n \leq p \ : \ (f \times g)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)}(x) \ g^{(n-k)}(x)}}$