رتابة دالة والإشتقاق

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة تابثة على المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{(\exists k \in \mathbb{R} ) \, (\forall x \in I) \, : \, f(x) = k}}$

لدينا إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = 0}}$

هنا بينا الاستلزام الأول

الآن نفترض أن : $\displaystyle{\displaylines{ \forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = 0}}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x, y) \in I^2}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{x \neq y}}$ . لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة وقابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ :

لدينا حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :

$\displaystyle{\displaylines{(\exists c \in I) \, : \, |f(x) - f(y)| = |f^{'}(c)| |x-y| = 0}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{\forall (x, y) \in I^2 \, : \, f(x) = f(y)}}$

ومنه فإن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة تابتة على المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$.

$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة ثابتة $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ f^{'}(x) = 0 \iff}}$

---

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة تزايدية على المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ :

$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{x \in I}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة تزايدية .إذن :

إذا كان : $\displaystyle{\displaylines{x+h \geq x}}$ .فإن :

$\displaystyle{\displaylines{f(x+h) - f(x) \geq 0}}$ و $\displaystyle{\displaylines{h \geq 0}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0}}$

إذا كان : $\displaystyle{\displaylines{x+h \leq x}}$

فإن : $\displaystyle{\displaylines{f(x+h) - f(x) \leq 0}}$ و $\displaystyle{\displaylines{h \leq 0}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0}}$

في جميع الحالات لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0}}$

وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ f^{'}(x) \geq 0}}$

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ f^{'}(x) \geq 0 }}$ :

ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x, y) \in I^2}}$, بحيث $\displaystyle{\displaylines{ x > y}}$ لنبين أن $\displaystyle{\displaylines{f(x) \geq f(y)}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة وقابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ :

لدينا حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :

$\displaystyle{\displaylines{\exists c \in ]y, x[ \, : \, f(x) - f(y) = f^{'}(c) (x-y)}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{x-y > 0}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(c) \geq 0}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{f(x) - f(y) \geq 0}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{\forall (x, y) \in I^2 : x > y \implies f(x) \geq f(y)}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة تزايدية على المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$

$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة تزايدية $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ f^{'}(x) \geq 0 \iff}}$

---

بالنسبة لهذا السؤال يمكننا تتبع نفس خطوات السؤال السابق .