الرياضيات بالعربية

رمز المجموع والضرب



رمز المجموع

شرح رمز المجموع
شرح رمز المجموع
لتكن $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ متتالية عوض أن نكتب الصيغة التالية :

$u_1 + u_2 + .... + u_n $

يمكننا أن نكتبها بشكل مكثف هكذا $\sum_{k=1}^{n} u_k$

و لدينا : $ \sum_{k=1}^{n} u_k = u_1 + u_2 + .... + u_n $ .

أمثلة :
  • $\sum_{k=3}^{n-3} k = 3 + 4 + 5 + ..... + (n-2) + (n-3) $
  • $\sum_{k=0}^{n} x^k = 1 + x + x^2 + ..... + x^n $
  • $\sum_{k=1}^{n-1} k^x = 1 + 2^x + 3^x + ..... + (n-1)^x$
ملحوظة : المتغير $k$ ليست له أية قيمة أو دخل في المجموع, ويمكن استعمال أي إسم نريد .مثال :

$\sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{i=1}^{n} u_i = \sum_{p=1}^{n} u_p$

الخصائص الجبرية للمجموع

لتكن $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ و $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$متتاليتان و $\alpha $ عدد حقيقي, لدينا :

  • $ \sum (u_k + w_k) = \sum u_k + \sum w_k$

  • $ \sum \alpha u_k = \alpha \sum u_k$

تغيير المتغير

يمكننا تغيير الرقم الذي نبدأ منه و الذي ننتهي فيه دون تغيير قيمة المجموع .مثال :

نضع $ a = u_5 + u_6 + u_7 + .... + u_{n+4} $ .

لدينا :

$a = \sum_{k=5}^{n+4} u_k $ .

لدينا أيضا :

$a = \sum_{k=0}^{n-1} u_{k + 5} $ .

لاحظ أن المجموعان متساويان, والعملية التي قمنا بها هي تغيير المتغير .

كيف نقوم بتغيير المتغير ؟

ليكن : $f_n = \sum_{k=1}^{n} u_k = u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} + u_{n}$ .

ليكن $m$ هو العدد الذي سنقوم بالإزاحة به .

نضع $ p = k + m $.

لدينا $k$ يبدأ من $1$ إذن $p$ يبدأ من $1+m$ .

لدينا $k$ يصل إلى $n$ إذن $p$ يصل إلى $n + m$.

لدينا $ k = p - m $ .

ثم نقوم بتعويض المتغيرات :

$f_n = \sum_{p=1+m}^{n+m} u_{p-m}$ .

في الأخير يمكننا إرجاع المتغير $k$ لأن اسم المتغير ليست له قيمة تذكر :

$f_n = \sum_{k=1+m}^{n+m} u_{k-m}$ .

بعد التمرن على هذه العملية لست مظطرا لكتابتها إذ يكفي عملها ذهنيا و وضع المجموع مباشرة .

تمرين بسط التعابير التالية :
  • $ \sum_{k=0}^{n} (u_{k+1} - u_k) $

  • $ \sum_{k=0}^{n} (u_{k+p} - u_k) $
تمرين :
ليكن $a$ عدد حقيقي و $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ و $(s_n)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ و $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ متتاليات بحيث : $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ :
  • $e_n = \sum_{k=0}^{2 n} \frac{a^k}{k!} $

  • $c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{a^{ 2k }}{(2 k)!} $

  • $s_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^{2 k+1}}{(2 k + 1)!} $

بين أن $ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, e_n = c_n + s_n $

رمز الضرب