الرياضيات بالعربية

متسلسلات تلسكوبية

بين المتساويات التالية :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ :

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k (k+1)} = \frac{n}{n+1}$

$\sum_{k=1}^{n} k k! = (n+1)! - 1$

$\sum_{k=1}^{n} \ln(1+\frac{1}{k}) = \ln(1+n)$

$\sum_{k=1}^{n} \arctan(\frac{1}{k^2 + k + 1}) = \arctan(n+1) - \frac{\pi}{4}$
تذكيــــر :

نقول أن السلسلة $S_n = \sum_{k=1}^{n} w_k$ تلسكوبية Télescopique إذا وفقط إذا وجدت متتالية $u_n$ بحيث :

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (u_{k+1} - u_k) $ وفي هذه الحالة لدينا :

$ S_n = u_{n+1} - u_1 $


لدينا : $\frac{1}{k (k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

إذن :

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k (k+1)} = \sum_{k=1}^{n} ( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} )$

وبالتالـــي :

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k (k+1)} = - \frac{1}{n+1} + 1$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k (k+1)} = \frac{n}{n+1}$


لدينا : $ k k! = (k+1)! - k! $

إذن :

$\sum_{k=1}^{n} k k! = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k! )$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k k! = (n+1)! - 1$


لدينا : $\ln(1+\frac{1}{k}) = \ln(\frac{k+1}{k})$

إذن : $ \ln(1+\frac{1}{k}) = \ln(k+1) - \ln(k)$ .

وبالتالـــي :

$\sum_{k=1}^{n} \ln(1+\frac{1}{k}) = \sum_{k=1}^{n} ( \ln(k+1) - \ln(k) )$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \ln(1+\frac{1}{k}) = \ln(1+n)$


يمكننا أن نبين بسهولة أن : $ \arctan(\frac{1}{k^2 + k + 1}) = \arctan(k+1) - \arctan(k)$

وبالتالي :

$\sum_{k=1}^{n} \arctan(\frac{1}{k^2 + k + 1}) = \sum_{k=1}^{n} ( \arctan(k+1) - \arctan(k) )$

إذن :

$\sum_{k=1}^{n} \arctan(\frac{1}{k^2 + k + 1}) = \arctan(n+1) - \arctan(1)$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \arctan(\frac{1}{k^2 + k + 1}) = \arctan(n+1) - \frac{\pi}{4}$