الرياضيات بالعربية

متتالية تراجعية

نعتبر المتتالية المعرفة كالآتي :

$\left\{ \begin{array}{cl}u_n & = \ n \times u_{n-1} \, , \forall n \in \mathbb{N}^{*} \\u_0 & = \ 1\end{array} \right.$

بين أن :

$\large {\forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_n = n!}$
تذكيــــــر :لدينا : $ n! = 1 \times 2 \times ..... \times n $ .

مع الإصطلاح : $0! = \, 1 $ .


البرهان بالترجع Démonstration par récurrence

من أجل $ n \, = 0 $ لدينا $u_0 \, = 1 \, = 0!$ إذن الخاصية صحيحة من أجل $n=0$.

الآن نفترض أن $u_n \, = n!$ ولنبين أن $u_{n+1} \, = (n+1)!$ .

لدينا :

$\begin{array}{rcl}u_{n+1} & = & (n+1) \times u_n \\ \\~ & = & (n+1) \times n! \\ \\~ & = & (n+1)!\end{array}$

إذن :$u_{n+1} \, = (n+1)!$

إذن حسب البرهان بالترجع لدينا :

$\large\color{DarkRed} \forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_n = n!$