الرياضيات بالعربية

عموميات حول الدوال

هذا الدرس سوف يتناول المفاهيم الأولية التي سوف نحتاجها للدروس المقبلة الأكثر تقدما، سوف نتناول مفاهيم حيز التعريف، رتابة دالة و تعاريف لرسم الدوال .


الدالة العددية

الدالة العددية
اللون الأخضر يمثل دالة عددية لأن كل عدد x له صورة وحيدة على الأكثر.
اللون الأحمر لا يمثل دالة عددية لأن العدد 0 له صورتان.

نقول أن $f$ دالة عددية إذا وفقط إذا كان :
$f:\begin{array}{rcl}I \subset \mathbb{R} & \rightarrow & J \subset \mathbb{R} \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}$     تطبيق


راجع درس التطبيقات .

بمعنى أن $f$ دالة عددية إذا وفقط إذا كان لكل عنصر $x$ من $I$ صورة على الأكثر في $J$.

مجموعة التعريف

نعرف مجموعة تعريف دالة عددية $f$ كما يلي : $D_{f} = \{x \in \mathbb{R} \, / \, f(x) \in \mathbb{R} \} $ .

مجموعة التعريف تمثل مجموعة انطلاق الدالة حتى يكون لـ$f(x)$ معنى في $\mathbb{R}$ .( أي$f(x) \in \mathbb{R}$ ) .

$f:\begin{array}{rcl}D_f \subset \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}$


أمثلة:
  • نعتبر الدالة : $ f(x) = \frac{1}{x}$ , $f$ لا يمكن أن تقبل صورة في $0$ لأنه لا يمكن القسمة على الصفر . ومن غير ذلك فهي معرفة إذن $D_f = \mathbb{R}^{*} $ .


  • الدالة $f(x) = \sqrt{x}$ لا يمكن أن تقبل إلا القيم الموجبة من $\mathbb{R}$ , إذن : $D_f = \mathbb{R}_{+}$ .


  • الدالة الحدودية $f(x) = a_n x^n + .... + a_1 x + a_0 $ معرفة على $\mathbb{R}$ , $D_f = \mathbb{R}$ .


  • الدالة $f(x) = \tan(x) $ ليست معرفة في النقط $ x_k = \frac{\pi}{2} + k \, \pi \, / \, k \in \mathbb{Z}$ . إذن : $D_f = \mathbb{R}- \{ \frac{\pi}{2} + k \, \pi \, / \, k \in \mathbb{Z} \}$.




أمثلة:
نعتبر $h$ و $g$ دالتان عدديتان معرفتان على $\mathbb{R}$ .

$f(x)$$D_f$
$\sqrt{h(x)}$$x \in D_{f} \Leftrightarrow h(x) \geq 0$
$ \frac{h(x)}{g(x)} $$x \in D_{f} \Leftrightarrow g(x) \neq 0$
$\ln(h(x)) $$ x \in D_{f} \Leftrightarrow h(x) > 0 $


تطبيق : أوجد مجموعة تعريف كل من الدوال التالية.
  • $f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}$


  • $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$


  • $f(x) = \sqrt{1-\cos(2 \pi x)}$


  • $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x^2 - 7x + 10}$


  • $f(x) = \frac{1}{|x| - 1}$


زوجية دالة

لتكن $f$ دالة معرفة على تعريفها $D_f$. لدينا :


$f$ دالة زوجية $\left\{\begin{matrix}\forall x \in D_f \quad -x \in D_f\\ f(-x) = f(x)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$



$f$ دالة فردية $\left\{\begin{matrix}\forall x \in D_f \quad -x \in D_f\\ f(-x) = -f(x)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

رتابة دالة

لتكن $f$ دالة معرفة على حيز تعريفها $D_f$. وليكن $I$ مجالا من $D_f$ بحيث $(x,y) \in I^2$.

دالة تزايدية

نقول أن $f$ تزايدية على $I$ إذا وفقط إذا كان :
$x > y \Rightarrow f(x) \geq f(y)$


نقول أن $f$ تزايدية قطعا على $I$ إذا وفقط إذا كان :
$x > y \Rightarrow f(x) > f(y)$

دالة تناقصية

نقول أن $f$ تناقصية على $I$ إذا وفقط إذا كان :
$x > y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$


نقول أن $f$ تناقصية قطعا على $I$ إذا وفقط إذا كان :
$x > y \Rightarrow f(x) < f(y)$

دالة مكبورة - مصغورة - محدودة

لتكن $f$ دالة عددية مجموعة تعريفها $D_f$.

  • نقول أن $f$ مكبورة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي $M$ بحيث : $\forall x \in D_f \quad f(x) \leq M$


  • نقول أن $f$ مصغورة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي $m$ بحيث : $\forall x \in D_f \quad m \leq f(x)$


  • نقول أن $f$ محدودة إذا وفقط إذا وجد عددان حقيقيان $m$ و $M$ بحيث : $\forall x \in D_f \quad m \leq f(x) \leq M$


مطارف دالة

لتكن $f$ دالة عددية مجموعة تعريفها $D_f$ و $x_0 \in D_f$ و $I$ مجال ضمن $D_f$.

1) القيمة القصوى :

نقول أن العدد $f(x_0)$ هو القيمة القصوى المطلقة للدالة $f$ عند النقطة $x_0$ إذا كان $\forall x \in D_f \quad f(x) \leq f(x_0)$.

نقول أن العدد $f(x_0)$ هو قيمة قصوى نسبية للدالة $f$ عند النقطة $x_0$ في المجال $I$ إذا كان $x_0 \in I$ و $\forall x \in I \quad f(x) \leq f(x_0)$.

2) القيمة الدنيا :

نقول أن العدد $f(x_0)$ هو القيمة الدنيا المطلقة للدالة $f$ عند النقطة $x_0$ إذا كان $\forall x \in D_f \quad f(x) \geq f(x_0)$.

نقول أن العدد $f(x_0)$ هو قيمة دنيا نسبية للدالة $f$ عند النقطة $x_0$ في المجال $I$ إذا كان $x_0 \in I$ و $\forall x \in I \quad f(x) \geq f(x_0)$.