الرياضيات بالعربية

رتابة دالة والإشتقاق

لتكن $f$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $I$ .

بــين أن $\forall x \in I$ :

$f$ دالة ثابتة $f^{'}(x) = 0 \Leftrightarrow$ .

$f$ دالة تزايدية $f^{'}(x) \geq 0 \Leftrightarrow$ .

$f$ دالة تناقصية $f^{'}(x) \leq 0 \Leftrightarrow$ .

نفترض أن $f$ دالة تابثة على $I$ لدينا :

$(\exists k \in \mathbb{R} ) \, (\forall x \in I) \, : \, f(x) = k$

لدينا إذن :

$\forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = 0$

هنا بينا الاستلزام الأول .

الآن نفترض أن : $ \forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = 0$.

ليكن $(x, y) \in I^2$ بحيث $x \neq y$ . لدينا :

$f$ متصلة وقابلة للإشتقاق على $I$ :

لدينا حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :

$(\forall (x, y) \in I^2 ) \, (\exists c \in I) \, : \, |f(x) - f(y)| = |f^{'}(c)| |x-y| = 0$

إذن :

$\forall (x, y) \in I^2 \, : \, f(x) = f(y)$

ومنه فإن $f$ دالة ثابة .

$ f$ دالة ثابتة $ \forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = 0 \Leftrightarrow$


نفترض أن $f$ دالة تزايدية . لدينــا :

$\forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

لدينا $f$ دالة تزايدية .إذن :

إذا كان : $x+h \geq x$ .فإن :

$ f(x+h) - f(x) \geq 0$ و $h \geq 0$

إذن $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$

ومنه فإن :

$ f^{'}(x) \geq 0$.

إذا كان : $x+h \leq x$ . فإن :

$f(x+h) - f(x) \leq 0$ و $h \leq 0$

إذن $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$

ومنه فإن :

$ f^{'}(x) \geq 0$.

في جمــيع الحالات لدينا : $f^{'}(x) \geq 0$ .

إذن : $\forall x \in I \, : \, f^{'}(x) \geq 0$

نفترض أن $\forall x \in I \, : \, f^{'}(x) \geq 0 $ :

ليكن $(x, y) \in I^2$, بحيث $ x > y$ لنبين أن $f(x) \geq f(y)$

لدينا $f$ متصلة وقابلة للإشتقاق على $I$ :

لدينا حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :

$\exists c \in ]x, y[ \, : \, f(x) - f(y) = f^{'}(c) (x-y)$

لدينا $x-y > 0$ و $f^{'}(c) \geq 0$.

إذن $\forall (x, y) \in I^2 \, : \, x > y \Rightarrow f(x) \geq f(y)$.

إذن $f$ دالة تزايدية .

$ f$ دالة تزايدية $ f^{'}(x) \geq 0 \Leftrightarrow$ .




بالنسبة لهذا السؤال يمكننا تتبع نفس خطوات السؤال السابق .