الرياضيات بالعربية

صيغة ليبنيز

لتكن $f$ و $g$ دالتين قابلتان للإشتقاق $p$ مرة على مجال $I$ .

بينا أن :

$\forall n \in \mathbb{N} , \, n \leq p$ :

$(f \times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)} \times g^{(n-k)}$
تذكيـــر : نرمز بـــ$f^{(k)}$ بالمشتقة من الدرجة $k$ للدالة $f$ . راجع درس الإشتقاق وتطبيقاته


البــــرهان بالترجع

من أجل $n \, = 0$ لدينا : $(f \times g)^{(0)} = f \times g = \sum_{k=0}^{0} C_{0}^{k} f^{(k)} \times g^{(0-k)}$
إذن الخاصية صحيحة من أجل $n \, = 0$ .

نفترض أن : $ (f \times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)} \times g^{(n-k)} $ ولنبين أن :
$ (f \times g)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n+1} C_{n+1}^{k} f^{(k)} \times g^{(n+1-k)} $.

لدينا : $(f \times g)^{(n+1)} = ((f \times g)^{(n)})^{'}$ . إذن :

$(f \times g)^{(n+1)} = ( \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)} \times g^{(n-k)} )^{'}$

وبالتــــالي :

$(f \times g)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} ( f^{(k+1)} \times g^{(n-k)} + f^{(k)} \times g^{(n+1-k)} )$

إذن :

$(f \times g)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k+1)} \times g^{(n-k)} + \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)} \times g^{(n+1-k)}$

نقوم بتغيير المتغير في المجموع الأول : $p = k +1$ .

$\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k+1)} \times g^{(n-k)} = \sum_{p=1}^{n+1} C_{n}^{p-1} f^{(p)} \times g^{(n+1-p)}$

وبالتـــالي :

$(f \times g)^{(n+1)} = \sum_{k=1}^{n+1} C_{n}^{k-1} f^{(k)} \times g^{(n+1-k)} + \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)} \times g^{(n+1-k)}$

$(f \times g)^{(n+1)} = ( \sum_{k=1}^{n} (C_{n}^{k-1} +C_{n}^{k} ) \times ( f^{(k)} \times g^{(n+1-k)} ) ) \\ + C_{n}^{n} f^{(n+1)} \times g^{(0)} + C_{n}^{0} f^{(0)} \times g^{(n+1)}$

لاحظ أن : $ C_{n}^{k-1} +C_{n}^{k} = C_{n+1}^{k} $ . و $ C_{n}^{n} = C_{n}^{0} = 1$

$(f \times g)^{(n+1)} = ( \sum_{k=1}^{n} C_{n+1}^{k} f^{(k)} \times g^{(n+1-k)} ) \\ + f^{(n+1)} \times g^{(0)} + f^{(0)} \times g^{(n+1)}$

لاحظ أنه يمكننا إدخال الحدين الأخيرين في المجموع ذلك أنه :

$ k \, = 0 $ : $C_{n+1}^{0} f^{(0)} \times g^{(n+1-0)} \, = f^{(0)} \times g^{(n+1)}$ .

$ k \, = n +1 $ : $ C_{n+1}^{n+1} f^{(n+1)} \times g^{(n+1-(n+1))} \, = f^{(n+1)} \times g^{(0)}$

إذن :

$(f \times g)^{(n+1)} = ( \sum_{k=0}^{n+1} C_{n+1}^{k} f^{(k)} \times g^{(n+1-k)} )$

إذن حسب البرهان بالترجع لدينا :

$\forall n \in \mathbb{N} , \, n \leq p \, : \, (f \times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)} \times g^{(n-k)}$