بين أن p لا يقسم العدد التالي

البرهان بالخلف :

تذكير: إذا كان $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي فإن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{n \wedge p = 1}}$

---

لدينا $\displaystyle{\displaylines{p=4k+3}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي :

نفترض أنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{n}}$ من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n^{2}+1}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{n^{2}+1 \equiv 0 [p] \iff n^{2} \equiv -1[p]}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{(n^{2})^{2k+1} \equiv -1[p] \iff n^{4k+2} \equiv -1[p]}}$

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{p = 4k+3}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{n^{p-1} \equiv -1[p] \quad (1)}}$

ومن جهة أخرى لدينا : $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n^{2}+1}}$ ومنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{h}}$ من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{n^{2}+1=ph}}$.

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{p\times h - n \times n = 1}}$ ومنه و حسب مبرهنة Bézout فإن $\displaystyle{\displaylines{n \wedge p = 1}}$

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي و حسب مبرهنة Fermat الصغرى لدينا $\displaystyle{\displaylines{n^{p-1} \equiv 1[p] \quad (2)}}$

من $\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(2)}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}n^{p-1} \equiv -1[p] & \ \\n^{p-1} \equiv 1[p] & \ \end{array} \right. \implies 2 n^{p-1} \equiv 0[p]}}$

لدينا إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{2 n^{p-1}}}$

بما أن $\displaystyle{\displaylines{p \wedge 2 = 1}}$ (لأن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يكتب على شكل $\displaystyle{\displaylines{4k+3}}$) وحسب مبرهنة Gauss فإن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n^{p-1}}}$.

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي فإن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ وهذا تناقض! لأن $\displaystyle{\displaylines{n \wedge p = 1}}$ .

إذن الإفتراض خاطئ ولا يمكن أن يوجد $\displaystyle{\displaylines{n}}$ من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{p = 4k+3}}$ أولي يقسم $\displaystyle{\displaylines{n^{2}+1}}$.

إذن $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N} \quad n^{2}+1 \wedge p = 1}}$