تصحيح الحسابيات في بكالوريا 2016 الدورة العادية

لدينا $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a^3 + b^3}}$ إذن

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}a^3 + b^3 & \equiv & 0 [173] \\a^3 & \equiv & -b^3 [173] \\(a^3)^{57} & \equiv & (-b^3)^{57}[173] \\a^{171} & \equiv & -b^{171} [173]\end{array}}}$

---

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a}}$.

إذن $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a^3}}$

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a^3 + b^3}}$ فإن

$\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{(a^3 + b^3) - a^3}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{b^3}}$.

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{173}}$ عدد أولي, لدينا $\displaystyle{\displaylines{173}}$ تقسم $\displaystyle{\displaylines{b}}$.

وبالمثل نبين أنه إذا كان $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{b}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a}}$.

خلاصة : $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a}}$ $\displaystyle{\displaylines{\iff}}$ $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{b}}$

---

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a}}$.

حسب السؤال السابق لدينا : إذن $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{b}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{173}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a+b}}$

---

ملاحظة هامة : إذا كان $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي و $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}^{*}}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{p \wedge n = 1}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{173}}$ عدد أولي لا يقسم $\displaystyle{\displaylines{a}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{173 \wedge a = 1}}$

لدينا أيضا حسب السؤال (2) $\displaystyle{\displaylines{173}}$ لا يقسم $\displaystyle{\displaylines{b}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{173 \wedge b = 1}}$

حسب مبرهنة Fermat الصغرى الصغرى لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}173 \wedge a = 1 & \implies \ a^{172} \equiv 1 [173] \\173 \wedge b = 1 & \implies \ b^{172} \equiv 1 [173]\end{array} \right.}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{a^{172} \equiv b^{172} [173]}}$

---

حسب السؤال الاول لدينا : $\displaystyle{\displaylines{a^{171} \equiv -b^{171}[173]}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{b a^{171} \equiv - b^{172}[173]}}$

وحسب السؤال (1.4) لدينا $\displaystyle{\displaylines{- b^{172} \equiv - a^{172} [173]}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{b a^{171} \equiv - a^{172} [173]}}$

وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{a^{171} (a + b) \equiv 0 [173]}}$

---

ملاحظة هامة : لتكن $\displaystyle{\displaylines{a,b,n}}$ أعداد من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^{*}}}$ لدينا

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}a \wedge b = 1 & \iff & a^n \wedge b = 1 \\& \iff & a^n \wedge b^n = 1 \\\end{array}}}$

( راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر )

لدينا حسب السؤال السابق $\displaystyle{\displaylines{173}}$ تقسم $\displaystyle{\displaylines{a^{171} (a + b)}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{a \wedge 173 = 1}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{a^{171} \wedge 173 = 1}}$

ومنه وحسب مبرهنة Gauss لدينا $\displaystyle{\displaylines{173}}$ تقسم $\displaystyle{\displaylines{a + b}}$

---

ملاحظة هامة : يجب معرفة المتطابقة الهامة $\displaystyle{\displaylines{a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)}}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x,y)}}$ عنصرا من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}}}$ حلا للمعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$ لدينا

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}x^3 + y^3 & = & x^3 - (-y^3) \\& = & (x+y)(x^2-xy+y^2) \\\end{array}}}$

ولدينا $\displaystyle{\displaylines{x + y = 173 k}}$ نقوم بالتعويض في المعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$ لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{173 k (x^2-xy+y^2) = 173 (xy + 1)}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{k (x^2-2xy+y^2)+kxy-xy = 1}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1}}$

---

لدينا $\displaystyle{\displaylines{k, x, y}}$ أعداد من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^{*}}}$

ولدينا $\displaystyle{\displaylines{k (x-y)^2 \geq 0}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(k-1) xy \geq 0}}$ مع $\displaystyle{\displaylines{k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1}}$

إذن أحد الحدود يساوي $\displaystyle{\displaylines{1}}$ و الآخر يساوي $\displaystyle{\displaylines{0}}$.

* إذا كان $\displaystyle{\displaylines{k (x-y)^2 = 0}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{x - y = 0}}$ (لان $\displaystyle{\displaylines{k \in \mathbb{N}^{*}}}$)

أي ان $\displaystyle{\displaylines{x = y}}$, وفي نفس الوقت $\displaystyle{\displaylines{(k - 1) xy = 1}}$

أي $\displaystyle{\displaylines{(k-1) x^2 = 1}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{k=2}}$ و $\displaystyle{\displaylines{x = 1}}$ وهذا تناقض لأن $\displaystyle{\displaylines{x+y = 2x = 2 = 173k = 173 \times 2}}$

إذن الافتراض خاطئ ولدينا $\displaystyle{\displaylines{(k-1) xy = 0}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{k = 1}}$.

حسب السؤال السابق المعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$ تكافئ $\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ (x-y)^2 = 1\end{matrix}\right.}}$

المعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$ تكافئ :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ x-y = 1\end{matrix}\right.}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ x-y = -1\end{matrix}\right.}}$

الحلول هي من أجل $\displaystyle{\displaylines{(x,y)}}$ تساوي $\displaystyle{\displaylines{(86,87)}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{(87, 86)}}$

وعكسيا هذه الحلول تحقق المعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$

مجموعة حلول المعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$ $\displaystyle{\displaylines{S = \{(87, 86) ; (86, 87)\}}}$