ليكن
$\displaystyle{\displaylines{n,m \in \mathbb{N}}}$. نضع
$\displaystyle{\displaylines{F_n = 2^{2^{n}} + 1}}$العدد
$\displaystyle{\displaylines{F_n}}$ يسمى عدد فيرما (
nombre de Fermat)
نرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالتالي
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{P} = \{ p \in \mathbb{N} \, | \, \text{p premier}\}}}$1) بين أن $\displaystyle{\displaylines{2^m + 1 \in \mathbb{P} \implies \exists a \in \mathbb{N} \ : \ m = 2^a}}$
2) ليكن $\displaystyle{\displaylines{a,p \in \mathbb{N}^{*}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{p \in \mathbb{P}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{a \wedge p = 1}}$
وليكن $\displaystyle{\displaylines{k}}$ اصغر عدد غير منعدم بحيث $\displaystyle{\displaylines{a^k \equiv 1[p]}}$
1.2) بين أن $\displaystyle{\displaylines{k}}$ يوجد
2.2) بين أن $\displaystyle{\displaylines{a^n \equiv 1 [p] \iff k \, | \, n}}$ ثم استنتج أن $\displaystyle{\displaylines{k \, | \, p - 1}}$
3) بين أنه إذا كان $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي يقسم $\displaystyle{\displaylines{F_n}}$ فان $\displaystyle{\displaylines{p = m 2^{n+1} + 1}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{m \in \mathbb{N}}}$
4) بين أن $\displaystyle{\displaylines{\forall n \geq 1 \ : \ F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2}}$
5) استنتج أن جميع اعداد Fermat أولية فيما بينها مثنى مثنى
6) استنتج أن مجموعة الاعداد الاولية غير منتهية
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{2^m+1}}$ عدد أولي
نفترض بالخلف أنه يوجد
$\displaystyle{\displaylines{p \in \mathbb{P}}}$ فردي يقسم
$\displaystyle{\displaylines{m}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{m = pk}}$ إذن
$\displaystyle{\displaylines{2^m + 1 = 2^{pk} + 1}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{2^{pk} + 1 = 1-(-2^k)^p = (2^k + 1) ((-2^k)^{p-1}+(-2^k)^{p-2}+...+(-2^k)+1)}}$.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{2^k + 1}}$ قاسم فعلي لــ
$\displaystyle{\displaylines{2^m + 1}}$ ( أي يخالف
$\displaystyle{\displaylines{1}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{2^m + 1}}$ ). وهذا تناقض على اعتبار أن
$\displaystyle{\displaylines{2^m + 1}}$ عدد أولي.
ومنه فإن العدد
$\displaystyle{\displaylines{m}}$ لا يقبل أي قاسم أولي
فردي, إذن يوجد
$\displaystyle{\displaylines{a}}$ من
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{m = 2^a}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي و
$\displaystyle{\displaylines{a}}$ عدد صحيح طبيعي بحيث
$\displaystyle{\displaylines{a \wedge p = 1}}$لدينا حسب
مبرهنة Fermat الصغرى $\displaystyle{\displaylines{a^{p-1} \equiv 1 [p]}}$إذن يوجد
$\displaystyle{\displaylines{k \in \mathbb{N}^{*}}}$ بحيث يكون أصغر عدد غير منعدم يحقق
$\displaystyle{\displaylines{a^{k} \equiv 1 [p]}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{a,p \in \mathbb{N}^{*}}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{p \in \mathbb{P}}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{a \wedge p = 1}}$ليكن
$\displaystyle{\displaylines{k}}$ أصغر عدد غير منعدم بحيث
$\displaystyle{\displaylines{a^k \equiv 1[p]}}$لنبين أن :
$\displaystyle{\displaylines{a^n \equiv 1 [p] \iff k \, | \, n}}$* الإتجاه
$\displaystyle{\displaylines{\Longleftarrow)}}$ :
نفترض أن
$\displaystyle{\displaylines{k \, | \, n}}$ إذن توجد
$\displaystyle{\displaylines{b \in \mathbb{N}}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{n = bk}}$لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}a^n & \equiv & a^{b k} [p] \\ & \equiv & (a^{k})^{b} [p] \\ & \equiv & 1[p]\end{array}}}$* الإتجاه
$\displaystyle{\displaylines{\Longrightarrow)}}$ :
نفترض أن
$\displaystyle{\displaylines{a^n \equiv 1 [p]}}$.
نقوم باجراء القسمة الاقليدية للعدد
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ على
$\displaystyle{\displaylines{k}}$. لدينا
$\displaystyle{\displaylines{n = qk + r}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{0 \leq r < k}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{a^n = a^{qk + r} \equiv 1[p]}}$وبما ان
$\displaystyle{\displaylines{a^{qk} \equiv 1[p]}}$ لدينا
$\displaystyle{\displaylines{a^r \equiv 1 [p]}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{0 \leq r < k}}$ وعرفنا
$\displaystyle{\displaylines{k}}$ على انه اصغر عدد صحيح طبيعي غير منعدم بحيث
$\displaystyle{\displaylines{a^k \equiv 1 [p]}}$.
اذن
$\displaystyle{\displaylines{r = 0}}$ اذن
$\displaystyle{\displaylines{n = qk}}$ وبالتالي
$\displaystyle{\displaylines{k \, | \, n}}$خلاصة :$\displaystyle{\displaylines{a^n \equiv 1 [p] \iff k \, | \, n}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{a \wedge p = 1}}$إذن حسب مبرهنة Fermat الصغرى
$\displaystyle{\displaylines{a^{p-1} \equiv 1 [p]}}$إذن حسب ما سبق
$\displaystyle{\displaylines{k \, | \, p-1}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي يقسم
$\displaystyle{\displaylines{F_n}}$ لدينا
$\displaystyle{\displaylines{2^{2^n} \equiv -1[p]}}$وبالتالي
$\displaystyle{\displaylines{2^{2^{n+1}} \equiv 1[p]}}$ليكن
$\displaystyle{\displaylines{k}}$ أصغر عدد غير منعدم يحقق
$\displaystyle{\displaylines{2^k \equiv 1[p]}}$لدينا حسب السؤال 2.2 :
$\displaystyle{\displaylines{k \, | \, 2^{n+1}}}$إذن
$\displaystyle{\displaylines{k = 2^a}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{a \leq n+1}}$لكن لاحظ ان
$\displaystyle{\displaylines{2^{2^n} \equiv -1[p]}}$ وبالتالي فان
$\displaystyle{\displaylines{a = n+1}}$إذن
$\displaystyle{\displaylines{k = 2^{n+1}}}$لدينا حسب السؤال الثاني
$\displaystyle{\displaylines{k \, | \, p-1}}$إذن
$\displaystyle{\displaylines{2^{n+1} \, | \, p-1}}$اذن
$\displaystyle{\displaylines{\exists m \in \mathbb{N} \ : \ p-1 = m 2^{n+1}}}$.
وبالتالي
$\displaystyle{\displaylines{p = m 2^{n+1} + 1}}$
البرهان بالترجع من اجل
$\displaystyle{\displaylines{n=1}}$ لدينا
$\displaystyle{\displaylines{F_1 - 2 = 3 = F_0}}$ صحيح.
نفترض ان
$\displaystyle{\displaylines{F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2}}$لنبين ان
$\displaystyle{\displaylines{F_0 F_1 ... F_{n-1} F_{n} = F_{n+1} - 2}}$.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}F_0 F_1 ... F_{n-1} F_{n} & = & (F_n - 2) F_n \\& = & (2^{2^{n}}-1)(2^{2^{n}}+1) \\& = & 2^{2^{n+1}} - 1 \\& = & (2^{2^{n+1}} + 1) - 2 \\& = & F_{n+1} - 2\end{array}}}$
ومنه وحسب البرهان بالترجع لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : \ F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{i \neq j}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{}}$i < j
$\displaystyle{\displaylines{}}$, ونضع :
$\displaystyle{\displaylines{d = F_i \wedge F_j}}$.
لدينا حسب السؤال الرابع :
$\displaystyle{\displaylines{2 = F_j - F_0 F_1 ... F_i ... F_{j-1}}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}d | F_i\\d | F_j\end{matrix}\right. \implies d \, | \, (F_j - F_0 F_1 ... F_i ... F_{j-1}) = 2}}$
إذن
$\displaystyle{\displaylines{d \in \{1,2\}}}$وبما أن
$\displaystyle{\displaylines{F_n}}$ كلها أعداد فردية فإن :
$\displaystyle{\displaylines{d = 1}}$خلاصة : أعداد فيرما كلها أولية فيما بينها مثنى مثنى.
نضع
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : \ u_n = F_n - 2}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{u_n = F_0 F_1 ... F_{n-1}}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{u_n}}$ يقبل على الاقل
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ قاسم أولي
مختلف , لأن الأعداد
$\displaystyle{\displaylines{F_i}}$ اولية في ما بينها
وبما ان
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = + \infty}}$ فانه يوجد عدد لانهائي من الاعداد الاولية
