ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{n > 2}}$ عدد فردي.
نعتبر المعادلة التالية في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^3}}$ : $\displaystyle{\displaylines{(E) \quad x^n + y^n = z^n}}$
بين ان المعادلة $\displaystyle{\displaylines{E}}$ لا تقبل حلا بحيث $\displaystyle{\displaylines{x+y}}$ أولي.
نفرض انه يوجد حل $\displaystyle{\displaylines{(x,y,z) \in \mathbb{N}^3}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{x^n + y^n = z^n}}$ و $\displaystyle{\displaylines{x+y}}$ عدد اولي.
لدينا $\displaystyle{\displaylines{n}}$ فردي اذن $\displaystyle{\displaylines{x^n + y^n = x^n - (-y)^n}}$
ولدينا $\displaystyle{\displaylines{x^n - (-y)^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+.....+x(-y)^{n-2}+(-y)^{n-1})}}$
إذن $\displaystyle{\displaylines{x+y \, | \, x^n+y^n=z^n}}$ وبما ان $\displaystyle{\displaylines{x+y}}$ أولي فان $\displaystyle{\displaylines{x+y \, | \, z}}$
اذن $\displaystyle{\displaylines{(x+y)^n \, | \, z^n = x^n+y^n}}$ و هذا تناقض لان $\displaystyle{\displaylines{(x+y)^n > x^n+y^n}}$
إذن المعادلة $\displaystyle{\displaylines{E}}$ لا يمكن ان تقبل حلا بحيث $\displaystyle{\displaylines{x+y}}$ اولي.
