مبرهنة فيرما الصغرى

تذكير : $\displaystyle{\displaylines{ a \equiv b [p] \iff p | (a - b)}}$

---

لدينا $\displaystyle{\displaylines{ \forall k \in \{1, .... , p-1 \} \,\, : \, C^k_{p} = \frac{p!}{k! (p-k)!}}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{p! = k! (p-k)! C^k_{p} \tag{1}}}$

إذا كان $\displaystyle{\displaylines{ k \in \{1, .... , p-1 \} }}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{ k < p }}$ و $\displaystyle{\displaylines{ p-k < p }}$

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{1, .... , p-1 \} \ : \ p \wedge k = p \wedge (p-k) = 1 }}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{1, .... , p-1 \} \ : \ p \wedge k! = 1 = p \wedge (p-k)! = 1 }}$

من $\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{p!}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{ k! (p-k)! C^k_{p} }}$ .

وبما أن : $\displaystyle{\displaylines{ p \wedge k! = p \wedge (p-k)! = 1 }}$ وحسب مبرهنة غوص فإن $\displaystyle{\displaylines{p | C^k_{p}}}$

$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{1, .... , p-1 \} \ : \ p | C^k_{p} }}$

---

ليكن : $\displaystyle{\displaylines{(a, b) \in \mathbb{N}^2}}$ :

باستعمال حدانية نيوتن binôme de Newton لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle (a + b)^p & = & \displaystyle \sum^{p}_{k=0} C^k_{p} a^k \, b^{p-k} \\ & = & \displaystyle a^p + b^p + \sum^{p-1}_{k=1} C^k_{p} a^k \, b^{p-k}\end{array}}}$

حسب السؤال السابق لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{1, .... , p-1 \} \ : \ p | C^k_{p}}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{\sum^{p-1}_{k=1} C^k_{p} a^k \, b^{p-k} \equiv 0 [p] }}$

وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{(a + b)^p \equiv a^p + b^p [p] }}$

---

لنبين بالترجع مبرهنة فيرما الصغرى :

من أجل $\displaystyle{\displaylines{n = 0}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{0^p \equiv 0[p]}}$ صحيح

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{ n^p \equiv n[p] }}$

لنبين أن $\displaystyle{\displaylines{ (n+1)^p \equiv n+1 [p] }}$

لدينا كما بينا سابقا

$\displaystyle{\displaylines{ \forall (a, b) \in \mathbb{N}^2 \, : \, (a+b)^p \equiv a^p + b^p [p] }}$

من أجل $\displaystyle{\displaylines{a = n}}$ و $\displaystyle{\displaylines{b = 1}}$ لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{(n+1)^p \equiv n^p+1 [p]}}$

باستخدام فرضية الترجع $\displaystyle{\displaylines{ n^p \equiv n[p] }}$ لدينا

$\displaystyle{\displaylines{(n+1)^p \equiv n+1 [p]}}$

إذن حسب البرهان بالترجع لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{ \implies n^p \equiv n[p]}}$ $\displaystyle{\displaylines{p}}$ أولي