ليكن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي أكبر من $\displaystyle{\displaylines{5}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{p+2}}$ عدد أولي.
بين أن $\displaystyle{\displaylines{p+1}}$ قابل للقسمة على $\displaystyle{\displaylines{6}}$.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي أكبر من
$\displaystyle{\displaylines{5}}$ إذن
$\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد فردي .
وبالتالي
$\displaystyle{\displaylines{p+1}}$ عدد زوجي .
إذن
$\displaystyle{\displaylines{2}}$ تقسم
$\displaystyle{\displaylines{p+1}}$.
بقي أن نبين أن
$\displaystyle{\displaylines{3}}$ تقسم
$\displaystyle{\displaylines{p+1}}$.
جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية تكتب على إحدى هذه الأشكال :
- $\displaystyle{\displaylines{n \, = 3k}}$
- $\displaystyle{\displaylines{n \, = 3k+1}}$
- $\displaystyle{\displaylines{n \, = 3k+2}}$
1) لدينا
$\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي إذن لا يمكن أن يكتب على شكل
$\displaystyle{\displaylines{3 k}}$.
2) إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{p = 3k+1}}$ لدينا
$\displaystyle{\displaylines{p+2 = 3 (k+1) }}$إذن
$\displaystyle{\displaylines{3}}$ تقسم
$\displaystyle{\displaylines{p+2}}$ تناقض ! لأن
$\displaystyle{\displaylines{p+2 > 3}}$ أولي
إذن
$\displaystyle{\displaylines{p}}$ لا يكتب على شكل
$\displaystyle{\displaylines{3k+1}}$إذن الحالة الوحيد الممكنة هي :
$\displaystyle{\displaylines{p = 3k + 2}}$وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{p+1 = 3 (k+1) }}$إذن
$\displaystyle{\displaylines{3}}$ تقسم
$\displaystyle{\displaylines{p+1}}$.
بينا أن
$\displaystyle{\displaylines{2}}$ تقسم
$\displaystyle{\displaylines{p+1}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{3}}$ تقسم
$\displaystyle{\displaylines{p+1}}$ ولدينا
$\displaystyle{\displaylines{ 2 \wedge 3 = 1}}$ إذن :
$\displaystyle{\displaylines{6}}$ تقسم
$\displaystyle{\displaylines{p+1}}$.