الهدف من التمرين هو إعطاء طريقة عملية لمعرفة أولية عدد .
ليكن $\displaystyle{\displaylines{ n \in \mathbb{N} }}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{ n }}$ غير أولي .
بين أنه يوجد عدد $\displaystyle{\displaylines{a}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{2 \leq a \leq \sqrt{n}}}$.
باستعمال هذه الطريقة بين كيف أن $\displaystyle{\displaylines{2011}}$ عدد أولي و $\displaystyle{\displaylines{1073}}$ غير أولي .
ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{n}}$ غير أولي .
إذن $\displaystyle{\displaylines{ n = a \times b}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{ b}}$ قواسم فعلية (أي تخالف $\displaystyle{\displaylines{1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{n}}$) .
بحيث يكون : $\displaystyle{\displaylines{ a \leq b}}$
( لاحظ أن عددين من $\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R}}}$ يمكننا دائما ترتيبهما . وبشكل خاص في $\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{N} }}$ ).
إذن : $\displaystyle{\displaylines{ a^2 \leq a \times b = n }}$
إذن :$\displaystyle{\displaylines{ 2 \leq a \leq \sqrt{n}}}$
طريقة تحديد أولية عدد $\displaystyle{\displaylines{n}}$:
في الأول نحسب الجذر المربع للعدد $\displaystyle{\displaylines{n}}$ .
ثم نقوم بتجربة قسمة الأعداد الأولية الأصغر من هذا الجذر .
(لاحظ أنه يمكننا الإكتفاء فقط بالأعداد الأولية الاصغر من الجذر مربع لأن الأعداد الأخرى سوف تكون ضرب هذه الأعداد)
إذا وجد عدد أولي يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ ليس أولي .
إذا لم يوجد فإن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد أولي .
مثال : $\displaystyle{\displaylines{n = 2011}}$
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{ \sqrt{2011} = 44.8441...}}$
الأعداد الأولية الأصغر من $\displaystyle{\displaylines{44}}$ هي على التوالي :
$\displaystyle{\displaylines{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43}}$
وجميعها لا تقسم $\displaystyle{\displaylines{2011}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{2011}}$ عدد أولي !!.
مثال 2 : $\displaystyle{\displaylines{n \, = 1073 }}$
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{1073} \, = 32.7566... }}$
الأعداد الأولية الأصغر من $\displaystyle{\displaylines{ 32 }}$ :
$\displaystyle{\displaylines{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{29}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{1073}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{1073}}$ ليس أولي .