Lagrida
Accueil Math en arabe
بين أن أصغر قاسم فعلي لعدد هو عدد أولي

بين أن أصغر قاسم فعلي لعدد هو عدد أولي

الهدف من هذا التمرين هوا البرهنة على أن أصغر قاسم فعلي لعدد $\displaystyle{\displaylines{ n }}$ هو عدد أولي .

ليكن $\displaystyle{\displaylines{n\in \mathbb{N}^{*}}}$ عدد غير أولي, وليكن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ أصغر قاسم فعلي لـ $\displaystyle{\displaylines{n}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{P}}}$ مجموعة الأعداد الأولية .

بين أن $\displaystyle{\displaylines{a \in \mathbb{P}}}$.
تذكير : نقول أن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ قاسم فعلي للعدد الغير أولي $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذا وفقط إذا كان :

$\displaystyle{\displaylines{a}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ و $\displaystyle{\displaylines{a \neq 1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{a \neq n}}$


البرهان بالخلف :

ليكن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد غير أولي.

وليكن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ أصغر قاسم فعلي لــ$\displaystyle{\displaylines{n}}$ , نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{a \notin \mathbb{P} }}$ :

بما أن $\displaystyle{\displaylines{a \notin \mathbb{P} }}$ فإنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{b}}$ قاسم فعلي لــ$\displaystyle{\displaylines{a}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{b}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{a}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{b}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$

ولدينا $\displaystyle{\displaylines{b}}$ أصغر من $\displaystyle{\displaylines{a}}$. تناقض !!

لأننا افترضنا أن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ هو أصغر قاسم فعلي لــ$\displaystyle{\displaylines{n}}$

إذن الإفتراض خاطئ و أصغر قاسم فعلي لعدد ما هو عدد أولي .
Accueil Math en arabe
بين أن أصغر قاسم فعلي لعدد هو عدد أولي
التعليقات :
إضافة تعليق