الهدف من هذا التمرين هوا البرهنة على أن أصغر قاسم فعلي لعدد $\displaystyle{\displaylines{ n }}$ هو عدد أولي .
ليكن $\displaystyle{\displaylines{n\in \mathbb{N}^{*}}}$ عدد غير أولي, وليكن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ أصغر قاسم فعلي لـ $\displaystyle{\displaylines{n}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{P}}}$ مجموعة الأعداد الأولية .
بين أن $\displaystyle{\displaylines{a \in \mathbb{P}}}$.
تذكير : نقول أن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ قاسم فعلي للعدد الغير أولي $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذا وفقط إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{a}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ و $\displaystyle{\displaylines{a \neq 1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{a \neq n}}$
البرهان بالخلف :
ليكن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد غير أولي.
وليكن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ أصغر قاسم فعلي لــ$\displaystyle{\displaylines{n}}$ , نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{a \notin \mathbb{P} }}$ :
بما أن $\displaystyle{\displaylines{a \notin \mathbb{P} }}$ فإنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{b}}$ قاسم فعلي لــ$\displaystyle{\displaylines{a}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{b}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{a}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{b}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$
ولدينا $\displaystyle{\displaylines{b}}$ أصغر من $\displaystyle{\displaylines{a}}$. تناقض !!
لأننا افترضنا أن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ هو أصغر قاسم فعلي لــ$\displaystyle{\displaylines{n}}$
إذن الإفتراض خاطئ و أصغر قاسم فعلي لعدد ما هو عدد أولي .