نرمز ب $\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{P}}}$ لمجموعة الأعداد الأولية .
ليكن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد صحيح طبيعي, وليكن :
$\displaystyle{\displaylines{M_n = 2^n - 1}}$
($\displaystyle{\displaylines{M_n}}$ هو عدد ميرسن nombre de Mersenne)
بين التالي :
$\displaystyle{\displaylines{M_n \in \mathbb{P} \implies n \in \mathbb{P}}}$
بين أن العكس غير صحيح .
البرهان بالخلف Demonstration par Absurde :
ليكن $\displaystyle{\displaylines{M_n = 2^n - 1}}$
نفترض أن : $\displaystyle{\displaylines{M_n \in \mathbb{P}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{n \notin \mathbb{P}}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\exists (a, b) \in \{2, .... , n-1\} ^2 \ : \ n = a \times b}}$
ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}2^n - 1 & = & 2^{ab} - 1 \\ \\~ & = & (2^{a})^b- 1 \\ \\~ & = & (2^{a} - 1) \times ((2^{a})^{b-1} + ..... + (2^{a}) + 1)\end{array}}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{(2^{a} - 1) \neq 1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(2^{a} - 1) \neq (2^n - 1)}}$
لأن $\displaystyle{\displaylines{a \in \{2, .... , n-1\}}}$
و لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{(2^{a} - 1) | (2^n - 1)=M_n}}$
إذن $\displaystyle{\displaylines{M_n}}$ غير أولي, تناقض!
إذن الإفتراض خاطئ, و بالتالي فإن :
$\displaystyle{\displaylines{(2^n - 1 ) \in \mathbb{P} \implies n \in \mathbb{P}}}$
لنبين أن الاستلزام التالي خاطئ :
$\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{P} \implies (2^n - 1 ) \in \mathbb{P}}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{ 11 \in \mathbb{P} }}$
لكن : $\displaystyle{\displaylines{2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89}}$
إذن عكس الخاصية خاطئ.