بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية .
البرهان بالخلف Demonstration par Absurde :نفترض أن مجموعة الأعداد الأولية منتهية و ليكن
$\displaystyle{\displaylines{m}}$ أكبر عدد أولي .
نعتبر العدد التالي :
$\displaystyle{\displaylines{n = m! + 1}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{2, \cdots, m\} \ : \ n = (2\times\cdots\times k \times \cdots \times m)+1}}$باستخدام
مبرهنة Bézout لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{2, ....m\} \ : \ n \wedge k = 1}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{2, \cdots, m\} \ : \ k \nmid n=m!+1}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{n \gt m}}$ وغير قابل للقسمة علي عدد أولي أصغر من
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ (لأننا افترضنا أن أكبر عدد أولي هو
$\displaystyle{\displaylines{m}}$), وبالتالي فإن
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد أولي!
وهذا تناقض لأننا افترضنا
$\displaystyle{\displaylines{m}}$ كأكبر عدد أولي.
إذن الإفتراض خاطئ ومجموعة الأعداد الأولية غير منتهية.
الأعداد الأولية الأصغر من
$\displaystyle{\displaylines{100}}$ :
$\displaystyle{\displaylines{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}}$