Lagrida
Accueil Math en arabe
بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية

بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية

بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية .
البرهان بالخلف Demonstration par Absurde :

نفترض أن مجموعة الأعداد الأولية منتهية و ليكن $\displaystyle{\displaylines{m}}$ أكبر عدد أولي .

نعتبر العدد التالي : $\displaystyle{\displaylines{n = m! + 1}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{2, \cdots, m\} \ : \ n = (2\times\cdots\times k \times \cdots \times m)+1}}$

باستخدام مبرهنة Bézout لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{2, ....m\} \ : \ n \wedge k = 1}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \{2, \cdots, m\} \ : \ k \nmid n=m!+1}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{n \gt m}}$ وغير قابل للقسمة علي عدد أولي أصغر من $\displaystyle{\displaylines{n}}$ (لأننا افترضنا أن أكبر عدد أولي هو $\displaystyle{\displaylines{m}}$), وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد أولي!
وهذا تناقض لأننا افترضنا $\displaystyle{\displaylines{m}}$ كأكبر عدد أولي.

إذن الإفتراض خاطئ ومجموعة الأعداد الأولية غير منتهية.

الأعداد الأولية الأصغر من $\displaystyle{\displaylines{100}}$ :

$\displaystyle{\displaylines{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}}$
Accueil Math en arabe
بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية
التعليقات :
إضافة تعليق