حدسية غولدباخ

حدسية غولدباخ هي واحدة من المسائل المفتوحة في نظرية الأعداد والتي ظلت مستعصية على الحل منذ قرون وحتى الآن!

نص الحدسية : يمكن التفريق بين حدسيتين للفرضية

حدسية غولدباخ القوية :



حدسية غولدباخ الضعيفة :




سبب تسمية الحدسية الثانية بالـ"ضعيفة" ناتج عن أنها نتيجة مباشرة للحدسية الأولى إذا ما تم إثباتها.

لدينا : إذا كان كل عدد زوجي يساوي مجموع عددين أوليين, وبأخذ عدد فردي : فإنه يساوي $\displaystyle{\displaylines{3}}$ زائد عدد زوجي والذي بدوره يساوي مجموع عددين أوليين. و بالتالي عدد فردي يساوي مجموع ثلاثة أعداد أولية.

لكن لاحظ أن الحدسية الضعيفة لغولدباخ لا تستلزم بالضرورة القوية.

إن كتابة عدد صحيح سواء داخل حدسية غولدباخ القوية أو الضعيفة ليست بالضرورة وحيدة, لهذا غالبا ما نجد هذه الحدسية بجانب حدسية أخرى تقول أنه وإذا اعتبرنا $\displaystyle{\displaylines{R(n)}}$ عدد الطرق الممكنة لكتابة العدد الزوجي $\displaystyle{\displaylines{n}}$ على شكل مجموع عددين أوليين, فإن :



بحيث $\displaystyle{\displaylines{C_2}}$ ثابتة الأعداد الأولية التوأم : $\displaystyle{\displaylines{C_2 = \prod_{\text{p premier} \, p \geq 3} \left(1- \frac{1}{(p-1)^2} \right) = 0.660161....}}$

أصل الحدسية يعود للعام 1742 عندما أرسل كريستيان غولدباخ رسالة إلى العالم الألماني المشهور ليونهارد أويلر يقترح فيها العبارة التالية :



في تلك الحقبة كان كريستيان غولدباخ يعتبر $\displaystyle{\displaylines{1}}$ عدد أولي.

وفي رده على الرسالة أوضح ليونهارد أويلر أن الأمر يعود للعبارة التالية :



دون أن يستطيع أويلر أو أي أحد من بعده من إثباتها..

التحقق الرقمي هو وسيلة لاختبار خطأ الفرضية, إذ يكفي إيجاد مثال مضاد واحد لتفنيد الفرضية.

في سنة $\displaystyle{\displaylines{2013}}$ قاد التحقق الرقمي لحدسية غولدباخ إلى النتيجتين التاليتين :

• تم التحقق من صحة حدسية غولدباخ القوية حتى العدد $\displaystyle{\displaylines{4 \cdot 10^{18}}}$.



• تم التحقق من صحة حدسية غولدباخ الضعيفة حتى العدد $\displaystyle{\displaylines{8.875 \cdot 10^{30}}}$.

بعد صياغة الحدسية عام 1742, كانت الوسائل الرياضية المتاحة آنذاك غير قادرة على التعامل مع مسألة مثل هذه رغم سهولة المصطلحات المستخدمة فيها..

وكان لابد من الإنتظار حتى بداية القرن العشرين مع تطور التحليل العقدي وظهور طريقة الغرابيل (sieve method) على يد العالم النرويجي Viggo Brun, لتتوالى النتائج بعد ذلك بتطور هذه الوسائل ...

فيما يلي سوف نضع الخط الزمني لأهم النتائج المحصلة والقريبة من الحدسية :

1920 - Viggo Brun :



ملاحظة : كبير كفاية تعني أن الخاصية صحيحة من أجل الأعداد الأكبر من ثابتة $\displaystyle{\displaylines{C}}$ (غالبا تكون قيمة $\displaystyle{\displaylines{C}}$ خيالية جدا ).

1923 - Hardy و Littlewood :

بافتراض صحة بعض من تعميمات فرضية ريمان استطاع العالمان الرياضيان Hardy و Littlewood من إثبات :



لاحظ أن هذا البرهان لا يمكن الأخذ به لأن فرضية ريمان لم يتم إثباتها بعد, بالإضافة إلى أنه صالح فقط بالنسبة لأعداد تتجاوز ثابتة $\displaystyle{\displaylines{C}}$, بحيث $\displaystyle{\displaylines{C}}$ كبير جدا..

1924 - Hans Rademacher :

استطاع Hans تحسين نتيجة Brun



1933 - Lev Schnirelmann :



1937 - Ivan Vinogradov :



لاحظ أن هذه الخاصية صحيحة من أجل جميع الأعداد الأكبر من ثابثة $\displaystyle{\displaylines{C}}$.

نتيجة Vinogradov كانت مذهلة, فلأول مرة يستطيع أحد إثبات حدسية غولدباخ الضعيفة من أجل أعداد كبيرة..

منذ Vinogradov استطاع علماء الرياضيات تحسين الثابتة $\displaystyle{\displaylines{C}}$.

وأصغر ثابتة تمت البرهنة عليها $\displaystyle{\displaylines{C = e^{3100} > 10^{1346}}}$ وهو رقم خيالي جدا جدا, حيث يمكنك ملاحظة أن عدد البروتونات الموجودة في مجرة درب التبانة مضروبة في عدد البيكو-ثانية المعدودة منذ الإنفجار العظيم إلى الآن أصغر من $\displaystyle{\displaylines{10^{110}}}$ !

من أجل إثبات حدسية غولدباخ الضعيفة يجب التحقق من صحتها في المجال $\displaystyle{\displaylines{[7, C=10^{1346}]}}$ وهو أمر مستحيل بالحواسيب الحالية حيث وصل التحقق من حدسية غولدباخ الضعيفة سنة $\displaystyle{\displaylines{2013}}$ إلى $\displaystyle{\displaylines{8.875 \times 10^{30}}}$ !

مبرهنة Vinogradov تدل على أن حدسية غولدباخ الضعيفة إذا كانت خاطئة فمن أجل أعداد محدودة فقط.

1947 - Alfréd Rényi :



1951 - Yuri Linnik :



1959 - Andrzej Schnizel :



1966 - Chen Jingrun :



1969 - Klimov :



تم تحسين ثابتة Schnirelman وهي الآن تساوي $\displaystyle{\displaylines{k = 19}}$.

1975 - Montgomery و Vaughan :



1995 - Olivier Ramaré :



1995 - Kaniecki :



1997 - Deshouillers و Effinger و Riele و Zinoviev :



2002 - Heath-Brown و Schlage-Puchta :



2003 - Pintz و Ruzsa :



2012 - Terence Tao :



2013 - Harald Helfgott:

أخيرا تم إثبات حدسية غولدباخ الضعيفة.



الخاصية أعلاه صحيحة من أجل جميع الأعداد الأكبر من $\displaystyle{\displaylines{10^{30}}}$, في حين تم التحقق من الأعداد الأصغر من ذلك بواسطة الحواسيب, وبهذا تم إثبات حدسية غولدباخ الضعيفة.

وبهذا يكون العالم البيروفي Harald Helfgott قد أنهى مشوارا طويلا في محاولة إثبات الحدسية الضعيفة .. في حين أن الطريق ما يزال طويلا أمام الحدسية القوية..