درس النهايات هو أحد الدروس المهمة التي تتحدث عن سلوك الدالة في نقطة معينة أو في المالانهاية.
مثال 1: نضع
$\displaystyle{\displaylines{f(x) = \frac{1}{x}}}$ المعرفة على
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}^{*}}}$.
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)= 0}}$.
الكتابة أعلاه تعني أنه كلما كبر
$\displaystyle{\displaylines{x}}$ كثيرا فإن
$\displaystyle{\displaylines{f(x)}}$ تقترب من الــ
$\displaystyle{\displaylines{0}}$.
لكن لاحظ أن
$\displaystyle{\displaylines{f(x) \neq 0}}$ من أجل أي قيمة
$\displaystyle{\displaylines{x}}$ تنتمي إلى
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}^{*}}}$ فلا يمكن ل
$\displaystyle{\displaylines{\frac{1}{x}}}$ أن تساوي
$\displaystyle{\displaylines{0}}$.
.
مثال 2: ليكن :
$\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}^{*}}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{|x| < 1 }}$, لدينا العلاقة الشهيرة :
$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=0}^{n-1}x^k = \frac{1-x^n}{1-x} }}$
بما أن
$\displaystyle{\displaylines{|x| < 1 }}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n\rightarrow +\infty} x^n = 0}}$ إذن لدينا العلاقة التالية :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]-1,1[ \, : \, \sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}}}$
في البدء سوف نضع
$\displaystyle{\displaylines{a=0.9999\cdots}}$ وسوف نرى لماذا
$\displaystyle{\displaylines{a=1}}$.
هناك عدة طرق لنبين ذلك:
الطريقة الأولى
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\frac{1}{3} = 0.3333333\cdots}}$ ونقوم بالضرب في $\displaystyle{\displaylines{3}}$ ونحصل على $\displaystyle{\displaylines{a=1}}$.
الطريقة الثانية
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}a & = & 0.9999\cdots \\10 a & = & 9.9999\cdots \\10 a - a & = & 9 \\9a & = & 9 \\a & = & 1\end{array}}}$
الطريقة الثالثة
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}a & = & 0.999\cdots \\ & = & 0.9 + 0.09 + 0.009 + \cdots \\ & = & \dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{10^2}+\dfrac{9}{10^3}+\cdots \\ & = & \displaystyle 9 \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{10^k} \\ & = & \displaystyle 9 \times \dfrac{1}{10} \times\dfrac{1}{1 - \frac{1}{10}} \\ & = & 1\end{array}}}$
