متتالية Héron تمكن من حساب الجذر المربع لعدد موجب .
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{a}}$ عدد حقيقي موجب قطعا, نعتبر المتتالية التالية :
$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}u_{n+1} & = \ \dfrac{1}{2} \left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right) \\ \\u_0 & > \ 0\end{array} \right.}}$1) بين أن : $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, u_n \geq \sqrt{a} }}$
2) بين أن $\displaystyle{\displaylines{( u_n )_{n \in \mathbb{N}^{*}}}}$ تناقصية . ثم استنتج أنها متقاربة وحدد نهايتها
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_{n+1} = \frac{1}{2} (u_n + \frac{a}{u_n})}}$
نعلم أن مربع عدد ما دائما عدد موجب, إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N} \, : \, (u_n - \sqrt{a})^2 \geq 0 }}$
إذن : $\displaystyle{\displaylines{u_n^2 + a \geq 2 \sqrt{a} \, u_n}}$
(لاحظ أن $\displaystyle{\displaylines{ \forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_n > 0}}$ ويمكننا القسمة على $\displaystyle{\displaylines{u_n}}$ دون مشاكل)
وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{ u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n + \frac{a}{u_n}\right) \geq \sqrt{a} }}$
إذن : $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_{n+1} \geq \sqrt{a}}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, u_n \geq \sqrt{a}}}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}}}$ :
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2} \left( \frac{a}{u_n} - u_n\right)}}$
حسب السؤال السابق لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, a \leq u_n^2}}$
إذن : $\displaystyle{\displaylines{\frac{a}{u_n} - u_n \leq 0}}$
وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{u_n} - u_n\right) \leq 0}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, u_{n+1} \leq u_n}}$
$\displaystyle{\displaylines{( u_n )_{n \in \mathbb{N}^{*}}}}$ متتالية تناقصية .
لدينا $\displaystyle{\displaylines{( u_n )_{n \in \mathbb{N}^{*}}}}$ تناقصية ومصغورة بـ$\displaystyle{\displaylines{\sqrt{a}}}$ إذن متقاربة ,
لتكن $\displaystyle{\displaylines{l}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{ \lim_{n\rightarrow + \infty} u_n = l}}$
(لاحظ أن $\displaystyle{\displaylines{l \neq 0}}$ لأن $\displaystyle{\displaylines{ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, u_n \geq \sqrt{a} > 0}}$. إذن $\displaystyle{\displaylines{l>0}}$)
بما أن $\displaystyle{\displaylines{u_{n+1} = \ \dfrac{1}{2} \left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)}}$ فإن :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2} \left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)}}$
إذن : $\displaystyle{\displaylines{l = \frac{1}{2} \left(l + \frac{a}{l}\right)}}$
إذن : $\displaystyle{\displaylines{ l = \sqrt{a}}}$
وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{\lim_{n\rightarrow + \infty} u_n = \sqrt{a}}}$
