حل نظمة معادلتين بمجهولين معلوم جمعهما وضربهما

لنحل في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}^2}}$ النظمة التالية :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}x+y & = \ a \quad (1) \\xy & = \ b \quad (2)\end{array} \right.}}$

بحيث $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{b}}$ عددان معلومان.

انطلاقا من $\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{y = a - x}}$.

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}xy=b & \iff & x(a-x)=b \\ & \iff & x^2-ax+b=0\end{array}}}$

المجهولان $\displaystyle{\displaylines{x}}$ و $\displaystyle{\displaylines{y}}$ لهما دوران متماثلان, فإذا كان $\displaystyle{\displaylines{(x_0, y_0)}}$ حل للنظمة فإن $\displaystyle{\displaylines{(y_0, x_0)}}$ حل كذلك.

وبالتالي فإن حل النظمة هي جذور المعادلة : $\displaystyle{\displaylines{(E), \quad r^2-ar+b=0}}$.

لدينا $\displaystyle{\displaylines{\Delta =a^2-4b}}$

بما أن الحل مطلوب في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}^2}}$, فإن النظمة تقبل حلولا إذا وفقط إذا كان $\displaystyle{\displaylines{\Delta \geq 0}}$, وفي هذه الحالة :

لدينا جدور المعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$ هي :

$\displaystyle{\displaylines{r_1 = \frac{a+\sqrt{a^2 - 4b}}{2}, \quad r_2 = \frac{a-\sqrt{a^2 - 4b}}{2}}}$

إذن الحلول هي :

$\displaystyle{\displaylines{S=\{(r_1, r_2), (r_2, r_1)\}}}$

---

ليكن $\displaystyle{\displaylines{x}}$ طول المستطيل و $\displaystyle{\displaylines{y}}$ عرضه, لدينا :

محيط المستطيل هو $\displaystyle{\displaylines{38 m}}$ ومساحته هي $\displaystyle{\displaylines{60m^2}}$ إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}2(x+y) & = \ 38 \\xy & = \ 60\end{array} \right.}}$

وبالتالي يكفي حل النظمة :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}x+y & = \ 19 \\xy & = \ 60\end{array} \right.}}$

حسب ما سبق فإن الحل هو $\displaystyle{\displaylines{x=15m}}$ و $\displaystyle{\displaylines{y=4m}}$