لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$, بحيث :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ (f(x))^2=1}}$
بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in I \ : \ f(x) = -1)}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in I \ : \ f(x) = 1)}}$
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة على مجال $\displaystyle{\displaylines{[a,b]}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{[a,b] \subset f([a,b])}}$, بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{\exists (\alpha, \beta)\in [a,b]^2 \ : \ f(\alpha)-\alpha \leq 0 \text{ et } f(\beta)-\beta \geq 0}}$
استنتج أن :
$\displaystyle{\displaylines{\exists x \in [a, b] \ : \ f(x)=x}}$ملحوظة: الهدف من التمرين هو إثبات أن $\displaystyle{\displaylines{f(x)=1}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{f(x)=-1}}$ على كامل المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$, أي أنه لا يوجد $\displaystyle{\displaylines{(x_1, x_2) \in I^2}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{f(x_1)=-1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f(x_2)=1}}$.
البرهان بالخلف : Démonstration par absurde
نفترض بالخلف أنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{x_1 < x_2 , \ (x_1, x_2) \in I^2}}$ بحيث :
$\displaystyle{\displaylines{f(x_1)=-1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f(x_2)=1}}$
لدينا إذن $\displaystyle{\displaylines{f(x_1) f(x_2) = -1 \leq 0}}$
ولدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة على المجال $\displaystyle{\displaylines{[x_1, x_2] \subset I}}$
وبالتالي وحسب مبرهنة القيم الوسطية (Théorème des valeurs intermédiaires) :
$\displaystyle{\displaylines{\exists c \in [x_1, x_2] \subset I \ : \ f(c)=0}}$
وهذا تناقض لأن $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \ : \ (f(x))^2=1}}$
إذن الإفتراض خاطئ. نتيجة :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in I \ : \ f(x) = -1)}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in I \ : \ f(x) = 1)}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة على المجال $\displaystyle{\displaylines{[a, b]}}$.
وبما أن صورة مجال بدالة متصلة هو مجال لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{f([a,b])=[m, M]}}$
بحيث $\displaystyle{\displaylines{m=\min_{x \in [a,b]} f(x)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{M=\max_{x \in [a,b]} f(x)}}$
لتكن $\displaystyle{\displaylines{(\alpha, \beta) \in [a, b]^2}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{m=f(\alpha)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{M=f(\beta)}}$
ولدينا $\displaystyle{\displaylines{[a,b] \subset f([a,b])=[m,M]}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{m \leq a \leq b \leq M}}$
وبما أن $\displaystyle{\displaylines{a \leq \alpha \leq b}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{m\leq \alpha}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{f(\alpha) \leq \alpha}}$
وبما أن $\displaystyle{\displaylines{a \leq \beta \leq b}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{\beta \leq M}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{\beta \leq f(\beta)}}$
خلاصة:
$\displaystyle{\displaylines{\exists (\alpha, \beta)\in [a,b]^2 \ : \ f(\alpha)-\alpha \leq 0 \text{ et } f(\beta)-\beta \geq 0}}$
نضع $\displaystyle{\displaylines{g(x) = f(x)-x}}$, لدينا $\displaystyle{\displaylines{g}}$ دالة متصلة على المجال $\displaystyle{\displaylines{[a,b]}}$
حسب السؤال السابق لدينا : $\displaystyle{\displaylines{g(\alpha) \leq 0}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g(\beta) \geq 0}}$
وبالتالي وحسب مبرهنة القيم الوسطية (Théorème des valeurs intermédiaires) :
$\displaystyle{\displaylines{\exists x \in [a,b] \ : \ g(x) = 0}}$
أي أن :
$\displaystyle{\displaylines{\exists x \in [a, b] \ : \ f(x)=x}}$
الرد على التعليق