بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl} \forall x \in \mathbb{R} \, & : & \, \sin^{'}(x) = \cos(x) \\~ & : & \cos^{'}(x) = - \sin(x) \end{array}}}$
إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}}$
باعتبار دالة $\displaystyle{\displaylines{\sin}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\sin^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}}}$
و لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\sin(x + h) = \sin(x) \cos(h) + \sin(h) \cos(x)}}$
وبالتالي لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) (\cos(h)-1) + \sin(h) \cos(x)}{h}}}$
إذن
$\displaystyle{\displaylines{\sin^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{ \cos(h) - 1}{h} \sin(x) + \frac{\sin(h)}{h} \cos(x) \right)}}$
نعلم الخاصية التالية
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1}}$
و لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos(h) - 1}{h} & = & \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(0 + h) - \cos(0)}{h} \\ \\~ & = & \cos^{'}(0)\end{array}}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin^{'} (x) = \cos(x) + \cos^{'}(0) \sin(x) \,\,\, (1)}}$
مع $\displaystyle{\displaylines{ \cos^{'}(0)}}$ ثابتة يجب تحديدها .
نعلم أن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1}}$
نقوم بالاشتقاق :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin{'}(x) \sin(x) + \cos^{'}(x) \cos(x) = 0 \,\,\ (2) }}$
من أجل $\displaystyle{\displaylines{ x = 0 }}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\cos{'}(0) = 0}}$
نعوض في $\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin^{'} (x) = \cos(x)}}$
باتباع نفس الخطوات يمكننا أن نبين أن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \cos^{'} (x) = - \sin^{'}(0) \sin(x)}}$
لاحظ أن $\displaystyle{\displaylines{\sin^{'}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1}}$
إذن : $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R}}}$
$\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}\sin{'}(x)=\cos(x) & \\ \cos{'}(x)=-\sin(x) & \end{matrix}\right.}}$
