الهدف من هذا التمرين هو مقارنة العددين $\displaystyle{\displaylines{e^{\pi}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{ \pi^e}}$ .
نعتبر الدالة العددية المعرفة على $\displaystyle{\displaylines{]0, + \infty [ }}$ كما يلي :
$\displaystyle{\displaylines{f(x) = \frac{e^x}{x^e} }}$
أدرس تغييرات الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ ثم استنتج مقارنة العددين $\displaystyle{\displaylines{e^{\pi}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{ \pi^e}}$ .
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]0, + \infty [ \ : \ f(x) = \frac{e^x}{x^e} = e^x \, x^{-e}}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{]0, + \infty [ }}$, ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]0, + \infty [ \, : \, f^{'}(x) = e^x \, x^{-e} + e^{x} \, (-e) \, x^{-e - 1}}}$
وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]0, + \infty [ \, : \, f^{'}(x) = e^{x} \, x^{-e - 1} \, (x - e)}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]0, + \infty [ \, : \, e^{x} \, x^{-e - 1} > 0 }}$
إذن : $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]e, + \infty [ \, : \, f^{'}(x) > 0}}$
$\displaystyle{\displaylines{f}}$ تزايدية قطعا على المجال $\displaystyle{\displaylines{ ]e, + \infty [ }}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{ \pi \approx 3.14 > e \approx 2.71 }}$
إذن: $\displaystyle{\displaylines{ f( \pi) = \frac{e^{\pi}}{\pi^e} > f(e) = \frac{e^e}{e^e} =1}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{ \pi^e < e^{\pi}}}$
تطبيق عددي :
$\displaystyle{\displaylines{\pi^e = 22.4591...}}$
$\displaystyle{\displaylines{e^{\pi} = 23,1406...}}$
