لتكن
$\displaystyle{\displaylines{E}}$ مجموعة بحيث
$\displaystyle{\displaylines{E \neq \emptyset}}$ .
نسمي قانون تشكيل داخلي (
Loi de composition interne) كل تطبيق معرف على
$\displaystyle{\displaylines{E\times E}}$ ويأخذ قيمه في
$\displaystyle{\displaylines{E}}$ .
ونرمز له عادة بـ:
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ ،
$\displaystyle{\displaylines{\Delta}}$ ،
$\displaystyle{\displaylines{\bot}}$ ... فنكتب مثلا:
$\displaystyle{\displaylines{\star:\begin{array}{rcl} E\times E & \rightarrow & E \\ (x,y) & \rightarrow & x\star y \end{array}}}$
مثال 1: (كلاسيكي)1. الضرب قانون تركيب داخلي في
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ لأن
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in\mathbb{R} \ : \ x \times y \in \mathbb{R}}}$
أي أنه معرف من
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}}$ نحو
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$.
2. الضرب قانون تركيب داخلي في المجموعة
$\displaystyle{\displaylines{E=[0,1]}}$ لأن
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in[0,1] \ : \ x \times y\in[0,1]}}$
3. الضرب ليس قانون تركيب داخلي في المجموعة
$\displaystyle{\displaylines{F=[1,2]}}$ لأنه مثلا،
$\displaystyle{\displaylines{1.5\in [1,2]}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{2\in [0,2]}}$ في حين
$\displaystyle{\displaylines{1.5\times 2=3\notin [0,2]}}$.
لتكن
$\displaystyle{\displaylines{E}}$ مجموعة غير فارغة و
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ قانون تركيب داخلي في
$\displaystyle{\displaylines{E}}$، ولتكن
$\displaystyle{\displaylines{F}}$ مجموعة جزئية غير فارغة من
$\displaystyle{\displaylines{E}}$.
نقول عن
$\displaystyle{\displaylines{F}}$ أنها مستقرة بالنسبة للقانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ إذا كان اقتصار
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ على
$\displaystyle{\displaylines{F}}$ هو قانون تركيب داخلي في
$\displaystyle{\displaylines{F}}$. أي، إذا كان:
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in F: x\star y \in F}}$
مثال 2:في المثال السابق، المجموعة
$\displaystyle{\displaylines{[0,1]}}$ مستقرة بالنسبة للضرب في
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$، بينما المجموعة
$\displaystyle{\displaylines{[1,2]}}$ غير مستقرة بالنسبة للضرب في
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$.
لتكن
$\displaystyle{\displaylines{E}}$ مجموعة غير فارغة و
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ قانون تركيب داخلي في
$\displaystyle{\displaylines{E}}$.
التبديل:
نقول عن
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ أنه تبديلي إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in E: x\star y = y\star x}}$
التجميع:
نقول عن
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ أنه تجميعي إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y,z\in E: (x\star y)\star z =x\star (y\star z)}}$
العنصر المحايد :
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{e}}$ عنصر من
$\displaystyle{\displaylines{E}}$. نقول عن
$\displaystyle{\displaylines{e}}$ أنه
* عنصر محايد من اليمين بالنسبة للقانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{\forall x\in E: x\star e = x}}$
* عنصر محايد من اليسار بالنسبة للقانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{\forall x\in E: e\star x = x}}$
* عنصر محايد بالنسبة للقانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ إذا كان محايد من اليمين ومن اليسار في آن واحد.
العنصر المقابل:
ليكن $\displaystyle{\displaylines{e}}$ عنصر محايد بالنسبة للقانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ وليكن $\displaystyle{\displaylines{x}}$ و $\displaystyle{\displaylines{x'}}$ عنصرين من $\displaystyle{\displaylines{E}}$. نقول عن $\displaystyle{\displaylines{x'}}$ أنه :
* مقابل $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من اليمين بالنسبة للقانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ إذا كان $\displaystyle{\displaylines{x\star x' = e}}$
* مقابل $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من اليسار بالنسبة للقانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ إذا كان $\displaystyle{\displaylines{x'\star x = e}}$
* مقابل $\displaystyle{\displaylines{x}}$ بالنسبة للقانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ إذا كان مقابل من اليمين ومن اليسار في آن واحد.
التوزيع:
5.3) ليكن
$\displaystyle{\displaylines{\Delta}}$ قانون تركيب آخر داخلي في
$\displaystyle{\displaylines{E}}$. نقول عن
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ أنه
* توزيعي على
$\displaystyle{\displaylines{\Delta}}$ من اليمين إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y,z\in E: (x\Delta y)\star z =(x\star z)\Delta (y\star z)}}$
* توزيعي على
$\displaystyle{\displaylines{\Delta}}$ من اليسار إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y,z\in E: z \star (x\Delta y) =(z\star x)\Delta (z\star y)}}$
* توزيعي على
$\displaystyle{\displaylines{\Delta}}$ إذا كان توزيعي من اليمين ومن اليسار في آن واحد.
مبرهنة 1:
1) العنصر المحايد إن وجد فهو وحيد.
2) إذا كان القانون تجميعي فإن العنصر المقابل إن وجد فهو وحيد.
البرهان:1) ليكن
$\displaystyle{\displaylines{e_1}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{e_2}}$ عنصرين محايدين بالنسبة للقانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$.
لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{e_1\star e_2=e_1}}$ لأن
$\displaystyle{\displaylines{e_2}}$ عنصر محايد.
ومن جهة أخرى:
$\displaystyle{\displaylines{e_1\star e_2=e_2}}$ لأن
$\displaystyle{\displaylines{e_1}}$ عنصر محايد.
ومنه نستنتج أن
$\displaystyle{\displaylines{e_1=e_2}}$. أي وحدانية العنصر المحايد.
2) ليكن
$\displaystyle{\displaylines{x' }}$ و
$\displaystyle{\displaylines{x'' }}$ مقابلين لنفس العنصر
$\displaystyle{\displaylines{x}}$.
لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{x'\star e=x' }}$ .
ومن جهة أخرى:
$\displaystyle{\displaylines{x'\star e=x'\star (x\star x'')=(x'\star x)\star x''=e\star x''=x'' }}$
ومنه نستنتج أن
$\displaystyle{\displaylines{x'=x'' }}$ . أي وحدانية العنصر المقابل.
مبرهنة 2:
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{x'}}$ مقابل
$\displaystyle{\displaylines{x}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{y'}}$ مقابل
$\displaystyle{\displaylines{y}}$ :
1)
$\displaystyle{\displaylines{(x')'=x'}}$2) إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تجميعي فإن:
$\displaystyle{\displaylines{(x\star y)'=y'\star x'}}$البرهان:1) لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{x'\star x=e=x\star x'}}$ . ومنه
$\displaystyle{\displaylines{x}}$ هو مقابل
$\displaystyle{\displaylines{x'}}$ . أي أن:
$\displaystyle{\displaylines{x=(x')'}}$2) لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl} (y'\star x')\star(x\star y) & = & y'\star (x'\star x)\star y \\ & = & y'\star e\star y \\ & = & y'\star y \\ & = & e \\ \end{array} }}$
ومنه
$\displaystyle{\displaylines{y'\star x' }}$ هو مقابل
$\displaystyle{\displaylines{x\star y }}$ من اليسار.
ومن جهة أخرى:
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl} (x\star y)\star(y'\star x') & = & x\star (y\star y')\star x' \\ & = & x\star e\star x' \\ & = & x\star x' \\ & = & e \end{array} }}$
ومنه
$\displaystyle{\displaylines{y'\star x' }}$ هو مقابل
$\displaystyle{\displaylines{x\star y }}$ من اليمين.
والنتيجة:
$\displaystyle{\displaylines{y'\star x' }}$ هو مقابل
$\displaystyle{\displaylines{x\star y }}$ . أي:
$\displaystyle{\displaylines{y'\star x'=(x\star y)' }}$ليكن العدد الحقيقي
$\displaystyle{\displaylines{c>0}}$ (
$\displaystyle{\displaylines{c}}$ يشير إلى سرعة الضوء). نعتبر المجال
$\displaystyle{\displaylines{I=]-c,+c[ }}$ ونعرف قانون جمع السرعات في نظرية النسبية بالعلاقة:
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in I: x\star y=\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} }}$
برهن أن العلاقة السابقة تعرف قانون تشكيل داخلي في المجموعة
$\displaystyle{\displaylines{I }}$ .
2) برهن أن القانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تبديلي وتجميعي.
3)برهن أن القانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ يملك عنصر محايد يطلب تعيينه.
4) برهن أن كل عنصر من
$\displaystyle{\displaylines{I}}$ يملك مقابل بالنسبة للقانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ .
1) القانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ معرف جيدا لأن المقام موجب قطعا فهو لا ينعدم.
لنبرهن أن:
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in I:x\star y\in I}}$
أي نبرهن أن:
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in I: \left| \frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} \right|<c }}$
لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\forall x,y\in I: \left| \dfrac{x+y}{1+\dfrac{xy}{c^2}} \right|<c & \iff & \dfrac{|x+y|}{1+\dfrac{xy}{c^2}} - c <0 \\ \\ & \iff & |x+y|-c-\dfrac{xy}{c} <0 \\ & \iff & c|x+y|-c^2-xy <0 \\ \\ & \iff & c^2-c|x+y|+xy>0 \\ & \iff & c^2-c(x+y)+xy>0 \quad \text{ou} \quad c^2+c(x+y)+xy>0 \\ & \iff & (c-x)(c-y)>0 \quad \text{ou} \quad (c+x)(c+y) >0 \qquad ...(1) \end{array}}}$
ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{align*}\begin{cases} -c<x<c \\ -c<y<c \end{cases} & \implies \begin{cases} -c-x<0<c-x \\ -c-y<0<c-y \end{cases} \\ & \implies \begin{cases} c-x>0 \\ c-y>0 \end{cases} \\ & \implies (c-x)(c-y)>0 \end{align*}}}$
وأيضا:
$\displaystyle{\displaylines{\begin{align*}\begin{cases} -c<x<c \\ -c<y<c \end{cases} & \Rightarrow \begin{cases} 0<c+x<2c \\ 0<c+y<2c \end{cases} \\ & \Rightarrow \begin{cases} c+x>0 \\ c+y>0 \end{cases} \\ & \Rightarrow(c+x)(c+y)>0 \end{align*}}}$
ومنه العلاقة
$\displaystyle{\displaylines{(1) }}$ محققة. أي أن:
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in I:\left|\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}}\right| < c }}$
ومنه
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ هو قانون تركيب داخلي في
$\displaystyle{\displaylines{I}}$ .
2) التبديل: لدينا
$\displaystyle{\displaylines{x\star y=\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} = \frac{y+x}{1+\frac{yx}{c^2}} = y\star x}}$
ومنه
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تبديلي.
التجميع: لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\begin{align*}\forall x,y,z\in I:(x\star y)\star z & =\left(\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}}\right)\star z \\ & = t\star z=\frac{t+z}{1+\frac{tz}{c^2}} \\ & =\frac{x + y + z ++\frac{xyz}{c^2}}{1+\frac{xy+yz+zx}{c^2}}\end{align*}}}$
ومن جهة أخرى
$\displaystyle{\displaylines{\begin{align*}\forall x,y,z\in I:x\star(y\star z) & =x\star\left(\frac{y+z}{1+\frac{yz}{c^2}}\right) \\ & = x\star t=\frac{x+t}{1+\frac{xt}{c^2}} \\ & =\frac{x + y + z ++\frac{xyz}{c^2}}{1+\frac{xy+yz+zx}{c^2}}\end{align*}}}$
نلاحظ أن:
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y,z\in I:(x\star y)\star z = x\star(y\star z)}}$
ومنه
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تجميعي.
3) لإيجاد العنصر المحايد نحل المعادلتين
$\displaystyle{\displaylines{x\star e=x}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{e\star x=x}}$ .
وبما أن قانون التركيب تبديلي يكفي حل معادلة واحدة.
لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{\begin{align*} \forall x\in I:x\star e=x & \iff \frac{x+e}{1+\frac{xe}{c^2}}=x \\ & \iff x+e=x\left(1+\frac{xe}{c^2}\right) \\ & \iff e=\frac{x^2e}{c^2} \\ & \iff (c^2-x^2)e=0 \\ & \iff e=0\in I \end{align*}}}$
ومنه القانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ يملك عنصر مقابل هو
$\displaystyle{\displaylines{e=0}}$ (السرعة المعدومة).
4) لإيجاد العنصر المقابل نحل المعادلتين
$\displaystyle{\displaylines{x\star x'=e}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{x'\star x=e}}$ . وبما أن قانون التركيب تبديلي نكتفي بمعادلة واحدة.
لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{\begin{align*} \forall x\in I:x\star x'=e & \iff \frac{x+x'}{1+\frac{xx'}{c^2}}=0 \\ & \iff x+x'=0 \\ & \iff x'=-x \in I\end{align*}}}$
ومنه لكل عنصر
$\displaystyle{\displaylines{x\in I}}$ مقابل بالنسبة للقانون
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ هو
$\displaystyle{\displaylines{x'=-x}}$ (السرعة المعاكسة).
الرد على التعليق