Lagrida




date: 20/08/2019
Author: LAGRIDA Yassine


La conjecture de k uple




Notations :

Dans cet article on va utiliser les notations:

$\mathbb{P}=\{2, 3, 5,\cdots\}$ est l'ensemble des nombres premiers.
Pour $n,m\in\mathbb{N}^{*}$, $\gcd(n, m)$ représente le plus grand diviseur commun entre $n$ et $m$.
Pour un ensemble fini $E$, $\#E$ représente le nombre des éléments de cet ensemble.
Pour $x \in \mathbb{R}_{+}$, $\pi(x)$ est le nombre des nombres premiers inférieur à $x$.
Pour $x \in \mathbb{R}_{+}^{*}$, $\log(x)$ représente le lograthime naturel de $x$, $\log(x)=\int_{1}^{x} \dfrac{dt}{t}$.

Introduction :

Soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $k \geq 2$.
On considère le k uple $\mathcal{H}_k = (0,h_1,h_2,\cdots,h_{k-1})$ avec $0 < h_1 < \cdots < h_{k-1}$ des entiers paires.
On considère la constante :
$\mathcal{G}_k = \prod_{\text{p premier}}\frac{1-\frac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}}{(1-\frac1p)^{k}} $

Avec $w(\mathcal{H}_k, p)$ est le nombre des classes différentes $\pmod{p}$ dans $\mathcal{H}_k$.
Pour $x \in \mathbb{R}_{+}$, on définit $\pi_{\mathcal{H}_k}(x) = \#\{(p,p+h_1,\cdots,p+h_{k-1})\in \mathbb{P}^k \, | \, p+h_{k-1} \leq x\}$
La conjecture de Hardy-Littlewood prétend que :
$x \to +\infty$:
$\pi_{\mathcal{H}_k}(x) = \mathcal{G}_k \dfrac{x}{\log(x)^k} \, (1+o(1))$

Soit $q(x)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $\displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)} \leq x$.
Pour un nombre premier $q$ on définit $\mathcal{B}_q = \{b \in \mathbb{N}^{*} \, | \, \gcd(b, {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})=1 \}$.
Pour $x \in \mathbb{R}_{+}$ on définit $I_{\mathcal{H}_k}(x) = \#\{(b,b+h_1,\cdots,b+h_{k-1})\in \mathcal{B}_{q(x)}^k \, | \, b+h_{k-1} \leq x\}$
Dans cet article, je vais montré que :
$x \to +\infty$:
$I_{\mathcal{H}_k}(x) = \mathcal{G}_k \, e^{-\gamma k} \, \dfrac{x}{\log(\log(x))^k} \, (1+o(1)) $

Dans la fin de l'article je vais expliqué pourquoi je conjecture que :
$x \to +\infty$:
$I_{\mathcal{H}_k}(x) = \pi_{\mathcal{H}_k}(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)^k \, (1+o(1)) $

Si on arrive à montrer cela alors on montre la conjecture de k uple.

Les k uples admissibles:

Pour $k \geq 2$ le k uple $\mathcal{H}_k = (0,h_1,h_2,\cdots,h_{k-1})$ est admissible si et seulement si $p(p+h_1)\cdots(p+h_{k-1})$ n'admet pas un diviseur fixe pour tout $p \in \mathbb{P}$.

Exemple: le 3 uple $(0,2,4)$ n'est pas admissible parcequ'un des nombres $p$ ou $p+2$ ou $p+4$ est divisble par $3$. Donc $3$ divise toujours $p(p+2)(p+4)$

On considère la constante (on va montrer après sa convergence):
$\mathcal{G}_k = \prod_{\text{p premier}}\frac{1-\frac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}}{(1-\frac1p)^{k}}$

Avec $w(\mathcal{H}_k, p)$ est le nombre des classes différentes $\pmod{p}$ dans $\mathcal{H}_k$.

Exemple: pour $\mathcal{H}_k = (0,2,4) =^{\bmod 3} (0,2,1)$ donc $w(\mathcal{H}_k, 3)=3$.
Pour $\mathcal{H}_k = (0,2,6) =^{\bmod 3} (0,2,0)$ donc $w(\mathcal{H}_k, 3)=2$.

On a : $1 \leq w(\mathcal{H}_k, p) \leq p$, et pour $p > h_{k-1}$ on a : $w(\mathcal{H}_k, p) = k$.
Voir que $w(\mathcal{H}_k, 2) = 1$ puisque tous les $h_i, i\in\{1,\cdots,k-1\}$ sont paires.

On a :
$\mathcal{H}_k$ est non admissible $\iff$ $\exists q \in \mathbb{P} \, : \, w(\mathcal{H}_k,q) = q$
Par conséquent:
$\mathcal{H}_k$ est non admissible $\iff$ $\mathcal{G}_k = 0$

Preuve:

$\implies$
On suppose que $\mathcal{H}_k$ est non admissible.
Donc $(\exists q \in \mathbb{P})(\forall p \in \mathbb{P}) \, : \, q | p(p+h_1)\cdots(p+h_{k-1})$
Puisque $q$ un nombre premier donc il suffit que $q$ divise $p$ ou $p+h_1$ ou $\cdots$ ou $p+h_{k-1}$.
D'après le théorème de Dirichlet, et pour $r \in \mathbb{N}$ fixé tel que $1 \leq r \leq q-1$ la progression arithmétique $qt+r$, $t\in\mathbb{N}^{*}$ possède une infinité de nombres premiers.
Donc Pour $p$ varie dans $\mathbb{P}$ on a $p \pmod{q}$ prend tous les valeurs $0,1,\cdots,q-1$.
Pour $p \in \mathbb{P}$, $p=q$ ou $\exists i \in \{1,2,\cdots,k-1\}$ tel que $q$ divise $p+h_i$.
Donc $h_i \pmod{q}, i\in\{1,2,\cdots,k-1\}$ prend tous les valeurs $1,\cdots,q-1$
Par conséquent $w(\mathcal{H}_k,q) = q$.


$\Longleftarrow$
On suppose $\exists q \in \mathbb{P} \, : \, w(\mathcal{H}_k,q) = q$
Soit $p \in \mathbb{P}$ tel que $r = p \pmod q$.
Si $r=0$ alors $p=q$ donc $q$ divise $p$,
Si $r \neq 0$: on a $1 \leq q-r \leq q-1$
Puisque $w(\mathcal{H}_k,q) = q$ Donc il existe $i \in\{1,2,\cdots,k-1\}$ tel que $q-r = h_i\pmod{q}$
Donc $q$ divise $p+h_i$.

Donc $\mathcal{H}_k$ est non admissible.

On a :
Si $\exists q \in \mathbb{P} \, : \, w(\mathcal{H}_k,q) = q$ Alors $q \leq k$

La preuve est simple puisqu'on a $k$ élements dans le k uple $\mathcal{H}_k$.
Comme conséquence tous les 2 uples $\mathcal{H}_2=(0,h_1)$ avec $h_1$ paire sont admissibles.

Et pour vérifier si un k uple est admissible il suffit de vérifier que $\forall p \in \mathbb{P} , p \leq k\, : \, w(\mathcal{H}_k,p) \neq p$.

Exemple1: $\mathcal{H}_k=(0,4,6)$ est admissible parce que:
$(0,4,6)=^{\pmod 2}(0,0,0) \implies w(\mathcal{H}_k,2)=1$
$(0,4,6)=^{\pmod 3}(0,1,0) \implies w(\mathcal{H}_k,3)=2$

Exemple2: $\mathcal{H}_k=(0,4,12,16,18)$ n'est pas admissible parce que:
$(0,4,12,16,18)=^{\pmod 2}(0,0,0,0,0) \implies w(\mathcal{H}_k,2)=1$
$(0,4,12,16,18)=^{\pmod 3}(0,1,0,1,0) \implies w(\mathcal{H}_k,3)=2$
$(0,4,12,16,18)=^{\pmod 5}(0,4,2,1,3) \implies w(\mathcal{H}_k,5)=5$

Conjecture:
Pour un k uple $\mathcal{H}_k=(0,h_1,\cdots,h_{k-1})$ admissible, il existe une infinité de k uples tel que $(p,p+h_1,\cdots,p+h_{k-1})\in\mathbb{P}^k$

Cette conjecture est jusqu'aujourdhui non résolu, la conjecture de k uple de Hardy-Littlewood est une version forte de cette assertion.
La fonction $\Upsilon_{b,q}$ :

Soit $b,q \in \mathbb{P}^2, k \in \mathbb{N}$ tel que $k < b$. Considérons les fonctions :
$\Upsilon_{b,q}(k) := {\small \prod_{\substack{b \leq p \leq q \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1-\frac{k}{p}}\right)}.$
$F_b(k) := {\small \prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1-\frac{k^2}{p^2}}\right)} \,\, , \quad C_b(k) := {\small \prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1-\left(\frac{k-1}{p-1}\right)^2}\right)}.$

Dans cette partie on va trouver un équivalent simple pour $\Upsilon_{b,q}(k)$ lorsque $q \to +\infty$.
On a :
$\Upsilon_{b,q}(k) = {\small \prod_{\substack{b \leq p \leq q \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1-\left(\frac{k-1}{p-1}\right)^2}\right)} {\small \prod_{\substack{b \leq p \leq q \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{p}}\right)}^2 {\small \prod_{\substack{b \leq p \leq q \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1+\frac{k-2}{p}}\right)}^{-1}$

On considère la constante $A_b := \displaystyle{\small \prod_{\substack{p < b \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{p}}\right)}$.
On considère le 3ème théorème de Mertens: $\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{p}}\right)} \sim \frac{e^{-\gamma}}{\log(q)}$
Donc on montre que pour $q \to +\infty$ :
$\Upsilon_{b,q}(k) \sim \left\{ \begin{array}{cl}1 & \text{ si } \ k = 0 \\\dfrac{e^{-\gamma}}{A_b \log(q)} & \text{ si } \ k = 1 \\ \\\dfrac{C_b(k) \, e^{-2\gamma}}{A_b^2 \, F_b(k-2) \, \log^{2}(q)} \Upsilon_{b,q}(k-2) & \text{ si } \ k \geq 2\end{array} \right.$

D'après cette formule récurrente on montre que pour $k \geq 2$:

$\Upsilon_{b,q}(k) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(k) \, e^{- k \gamma}}{F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(k-2) A_b^k} \,\, \dfrac{1}{\log^k(q)} & \text{ si } \ \text{k est paire} \\ \\\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(k) \, e^{- k \gamma}}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(k-2) A_b^k} \,\, \dfrac{1}{\log^k(q)} & \text{ si } \ \text{k est impaire}\end{array} \right.$

On doit chercher à simplifier cette équivalence par remarquer que :

$F_b(k) = {\small \prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}} {\normalsize \frac{(p-k)(p+k)}{p^2}}} \,\, , \quad C_b(k) = {\small \prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}} {\normalsize \frac{(p-k)(p+k-2)}{(p-1)^2} }}.$

On Montre que pour $k \geq 2$ :

$\prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}} \dfrac{p^{k-1} (p-k)}{(p-1)^k} = \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(k)}{F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(k-2)} & \text{ si } \ \text{k est paire} \\ \\\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(k)}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(k-2)} & \text{ si } \ \text{k est impaire}\end{array} \right.$


On a :
$\prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}} \dfrac{p^{k-1} (p-k)}{(p-1)^k} = \prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}}\frac{1-\frac{k}{p}}{(1-\frac1p)^{k}}$


Puisque $k < b$ et d'après la relation précedente le produit infini $\left( \prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}}\frac{1-\frac{k}{p}}{(1-\frac1p)^{k}} \right)$ est bien convergent.
On a :
$q \to +\infty$:
$\Upsilon_{b,q}(k) \sim \left( \prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}}\frac{1-\frac{k}{p}}{(1-\frac1p)^{k}} \right) \, \dfrac{e^{-k \gamma}}{A_b^k} \, \dfrac{1}{\log(q)^k}$

Remarquer que cette relation reste vrai aussi pour $k=0,1$.

Théorème du reste chinois:

Soit $q$ un nombre premier supérieur à $5$.
On considère l'ensemble $\mathcal{B}_q = \{ b \in \mathbb{N} \, | \, \gcd(b, \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})=1\}$.
$\mathcal{B}_q$ est l'ensemble des nombres premiers avec $2,3,5,\cdots,q$.
On considère l'ensemble:
$I_{\mathcal{H}_k}(x, q) = \#\{(b,b+h_1,b+h_2,\cdots,b+h_{k-1})\in\mathcal{B}_q^k \, | \, b+h_{k-1} \leq x\}$

On veut calculer $I_{\mathcal{H}_k}(x, q)$ pour $x = \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$.
Soit $p_i$ un nombre premier avec $p_i \leq q$.
Compter les k uples premiers avec $\displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$ et inférieur à $\displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$ revient à compter les k uples qui vérifient :

$\begin{array}{rcl}
b & \equiv & r_{0,i} \bmod{p_i} \\
b+h_1 & \equiv & r_{1,i} \bmod{p_i} \\
\, & \cdots & \, \\
b+h_{k-1} & \equiv & r_{k-1,i} \bmod{p_i} \\
\end{array} \tag{1}$

Avec $b+h_{k-1} \leq \displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$ et $\forall j \in\{0,1,2,\cdots,k-1\} \, : \, r_{j,i} \neq \bar{0}$ dans $\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}$ pour tout $p_i \leq q$.

D'après le théorème du reste chinois il existe un seul k uple $(b,b+h_1,\cdots,b+h_{k-1})$ pour un pattern $(r_{0,1}, r_{1,1}, \cdots, r_{k-1,1})$; $(r_{0,2}, r_{1,2}, \cdots, r_{k-1,2})$ ; ... ; $(r_{0,\pi(q)}, r_{1,\pi(q)}, \cdots, r_{k-1,\pi(q)})$ donné et $b+h_{k-1} \leq \displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$.

Dans notre cas on va compter le nombre des k uples avec $r_{j,i} \neq \bar{0}$ dans $\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}$ $\forall(j, i) \in \{0,1,\cdots,k-1\} \times\{1,2,\cdots,\pi(q)\}$.

Premièrement il faut éliminer les équations qui vérifient $h_j = h_l \pmod{p_i}$ (représente la meme équation)
Donc on aura $p_i - w(\mathcal{H}_k, p_i)$ possibilité pour $b$ tel que $r_{j,i} \neq \bar{0}$ dans $\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}$, avec $w(\mathcal{H}_k, p_i)$ est le nombre des classes différente $\pmod{p_i}$ dans $\mathcal{H}_k$.

D'après le principe fondamental du dénombrement:

$I_{\mathcal{H}_k}(\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q) = \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-w(\mathcal{H}_k, p))}}$

Le comportement asymptotique:

Pour un nombre premier $m$ on définit l'ensemble $\mathcal{B}_m = \{ b \in \mathbb{N} \, | \, \gcd(b, \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq m \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})=1\}$
Soit $x\in\mathbb{R}_{+}$ on définit l'ensemble $I(x, m)=\#\{b \in \mathcal{B}_m \, | \, b \leq x \}$

Soit $q \in \mathbb{P}$ tel que $x \geq \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$. Pour $q \to +\infty$:
$\dfrac{I(x,q)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }$

Pour montrer cela on procède par:
Soit $x \geq \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$
Soit $q_1$ le nombre premier précedant de $q$.
1) $\dfrac{I(x,q_1)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }$

2) Pour $F(x)=I(x, q_1) - I(x, q)$ on a $\lim_{q_1 \rightarrow +\infty} \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }^{-1} \dfrac{F(x)}{x} = 0$.

3) conclusion $\dfrac{I(x,q)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }$.

Preuve:

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$

On a $I(n \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q_1) = n \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}}$
Voir que la fonction $x \to I(x, q_1)$ est croissante.

Pour $n \cdot \displaystyle ({\small\prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}) \leq x < (n+1) \cdot \displaystyle ({\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})$ on a :

$n \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} \leq I(x, q_1) \leq (n+1) \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}}$

On a :
$n \cdot \displaystyle ({\small\prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}) \leq x < (n+1) \cdot \displaystyle ({\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}) \iff \dfrac{1}{(n+1) \cdot \displaystyle{\small\prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} < \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{n \cdot \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}}$

Donc:
$\dfrac{n}{n+1}\leq \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }^{-1} \dfrac{I(x, q_1)}{x} \leq \dfrac{n+1}{n}$

Pour $x \geq \displaystyle {\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$ on a $n \geq q$ donc $q \to +\infty \implies n \to +\infty$.
Donc $\lim_{q_1 \rightarrow +\infty} \dfrac{n}{n+1} = \lim_{q_1 \rightarrow +\infty} \dfrac{n+1}{n}=1$.
Conclusion:
$\dfrac{I(x,q_1)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }$



Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$.On a :
$\begin{array}{rcl}
F(n \cdot \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}) & = & I(n \cdot \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, \,\,q_1) - I(n \cdot \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, \,\, q) \\
& = & I(n q \cdot \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}},\,\, q_1) - I(n \cdot \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, \,\, q) \\
& = & n q \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} - n \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} \\ & = &
n \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} \cdot (q - (q-1)) \\
& = & n \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}}
\end{array}$

On a $F(x)=I(x, q_1) - I(x, q)$, alors $F(x)$ est le nombre des nombres inférieur à $x$ qui ont $q$ comme plus petit divisieur. Donc $x \to F(x)$ est une fonction croissante.

Pour : $n \cdot \displaystyle ({\small\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}) \leq x < (n+1) \cdot \displaystyle ({\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})$ On a :
$n \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} \leq F(x) \leq (n+1) \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}}$

Remaquons que :
$n \cdot \displaystyle ({\small\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}) \leq x < (n+1) \cdot \displaystyle ({\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}) \iff \dfrac{1}{(n+1) \cdot \displaystyle{\small\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} < \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{n \cdot \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}}$

Donc on a:
$\dfrac{n}{n+1} \dfrac{1}{q} \leq \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }^{-1} \dfrac{F(x)}{x} \leq \dfrac{n+1}{n} \dfrac{1}{q}$

Donc Pour $x \geq \displaystyle {\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p} \right)}$ on a :
$\lim_{q_1 \rightarrow +\infty} \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }^{-1} \dfrac{F(x)}{x} = 0$



On a $x \geq \displaystyle {\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p} \right)}$.
D'après ce qui précéde on a $\lim_{q_1 \rightarrow +\infty} \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }^{-1} \dfrac{I(x, q_1) - I(x, q)}{x} = 0$ et $\lim_{q_1 \rightarrow +\infty}\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }^{-1} \dfrac{I(x, q_1)}{x} = 1$.
Conclusion:
$\dfrac{I(x,q)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }$


Soit $x \geq \displaystyle {\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$, considérons le 3ème théorème de Mertens:
$q \to +\infty$
$I(x, q) \sim e^{-\gamma} \dfrac{x}{\log(q)}$

On considère le k uple $\mathcal{H}_k = (0,h_1,h_2,\cdots,h_{k-1})$.
Pour $m$ un nombre premier on définit : $I_{\mathcal{H}_k}(x, m) = \#\{(b,b+h_1,\cdots,b+h_{k-1})\in \mathcal{B}_{m}^k \, | \, b+h_{k-1} \leq x\}$.

Soit $q \in \mathbb{P}$ tel que $x \geq \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$. Pour $q \to +\infty$:
$\dfrac{I_{\mathcal{H}_k}(x, q)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)} }$

Preuve:

Soit $x \geq \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$.
On procède de la meme manière que le cas $I(x,q)$.
Donc pour $q_1$ le nombre premier précédant de $q$ on montre:

1) $\dfrac{I_{\mathcal{H}_k}(x, q_1)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)} }$

2) Pour $F(x)=I_{\mathcal{H}_k}(x, q_1) - I_{\mathcal{H}_k}(x, q)$ on a $\lim_{q_1 \rightarrow +\infty} \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)} }^{-1} \dfrac{F(x)}{x} = 0$.

3) Conclusion : $\dfrac{I_{\mathcal{H}_k}(x, q)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)} }$

Soit $x \geq \displaystyle {\small \left(\prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$, et $\mathcal{G}_k = \prod_{\text{p premier}}\frac{1-\frac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}}{(1-\frac1p)^{k}}$:

$q \to +\infty$,
$I_{\mathcal{H}_k}(x, q) \sim \mathcal{G}_k \, e^{-\gamma k} \, \dfrac{x}{\log(q)^k}$

Preuve:

Soit $q \in \mathbb{P}$ tel que $x \geq \displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$. Pour $q \to +\infty$ on a montré que:
$\dfrac{I_{\mathcal{H}_k}(x, q)}{x} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)} }$

Pour $p > h_{k-1}$ on a $w(\mathcal{H}_k, p)=k$.
Soit $b$ le plus petit nombre premier qui vérifie $b > h_{k-1}$.
Donc on a :
$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)} } & = & \displaystyle{\small \prod_{\substack{p < b \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)} } \displaystyle{\small \prod_{\substack{b \leq p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{k}{p}\right)} } \\ \\
& = & \displaystyle{\small \prod_{\substack{p < b \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)}} \Upsilon_{b,q}(k) \end{array}
$

On a déjà montré que pour $q \to +\infty$:
$\Upsilon_{b,q}(k) \sim \left( \prod_{\substack{b \leq p \\ \text{p premier}}}\frac{1-\frac{k}{p}}{(1-\frac1p)^{k}} \right) \, \dfrac{e^{-k \gamma}}{A_b^k} \, \dfrac{1}{\log(q)^k}$

Avec $A_b = \displaystyle{\small \prod_{\substack{p < b \\ \text{p premier}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{p}}\right)}$.

Donc pour $q \to +\infty$:
$\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)}} \sim \left( \prod_{\text{p premier}}\frac{1-\frac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}}{(1-\frac1p)^{k}} \right) \, \dfrac{e^{-k \gamma}}{\log(q)^k}$


Donc pour $q \to +\infty$:
$I_{\mathcal{H}_k}(x, q) \sim \mathcal{G}_k \, e^{-\gamma k} \, \dfrac{x}{\log(q)^k}$


Pour $x \in\mathbb{R}_{+}$ soit $q(x)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $\displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)} \leq x$. Donc :

$x \to +\infty$
$q(x) \sim \log(x)$

Preuve:

On a :
$\displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)} \leq x < \displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q_2(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$

Tel que $q_2(x)$ est le nombre premier suivant de $q(x)$
Donc :
$\dfrac{\log\displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}}{q(x)} \leq \dfrac{\log(x)}{q(x)} < \dfrac{\log\displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q_2(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}}{q(x)}$

Pour $x \to +\infty$ on a $q(x) \to +\infty$.
D'après le théorème des nombres premier : $\log\displaystyle{\small \left(\prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)} \sim q(x)$ et $q_2(x) \sim q(x)$.

Donc $q(x) \sim \log(x)$

Soit $I(x) = I(x, q(x))$, on a $x \geq \displaystyle {\small \left(\prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$ donc :
$x \to +\infty$
$I(x) \sim e^{-\gamma} \dfrac{x}{\log(\log(x))}$


Soit $I_{\mathcal{H}_k}(x) = I_{\mathcal{H}_k}(x, q(x))$, on a $x \geq \displaystyle {\small \left(\prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}\right)}$ donc :
$x \to +\infty$
$I_{\mathcal{H}_k}(x) \sim \mathcal{G}_k \, e^{-\gamma k} \, \dfrac{x}{\log(\log(x))^k}$

Vers la conjecture de k uple:

On a montré que :
$I(x) \sim e^{-\gamma} \dfrac{x}{\log(\log(x))}$

Avec $I(x)$ est le nombre des élements inférieur à $x$ et premiers avec $\displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$. où $q(x)$ est le plus grand nombre premier qui vérifie $\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}} \leq x$.

J'ai essayé de visualiser le terme $q(x)$ dans la formule:
$\dfrac{x}{\log(\log(x))} = \dfrac{x}{\log(x)} \dfrac{\log(x)}{\log(\log(x))}$

Comme $q(x) \sim \log(x)$, et utilisons le théorème des nombres premiers on a :

$x \to +\infty$
$I(x) \sim \pi(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)$

Soit $I_1(x)$ l'ensemble des nombres premiers avec $(\displaystyle {\small \prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})$ et inférieur à $x$ et $\mathbb{P}(x)$ l'ensemble des nombres premiers inférieurs à $x$.

Pour $p > q(x)=\log(x)(1+o(1))$ on a $p \in \mathbb{P(x)} \implies p \in I_1(x)$.
Donc $(\mathbb{P}(x) \setminus \mathbb{P}(q(x))) \subset I_1(x)$.
Le résultat $I(x) \sim \pi(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)$ est obtenu grace au théorème des nombres premier: $\pi(x) \sim \dfrac{x}{\log(x)}$.

De la meme manière que $I(x)$ je conjecture que:

$x \to +\infty$:
$I_{\mathcal{H}_k}(x) \sim \pi_{\mathcal{H}_k}(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)^k $

Si j'arrive à montrer cela, donc pour $x \to +\infty$:
$\pi_{\mathcal{H}_k}(x) \sim \mathcal{G}_k \dfrac{x}{\log(x)^k}$


Donc si j'arrive à montrer $I(x) \sim \pi(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)$ indépendament du théorème des nombres premiers, on va faire la meme chose pour $I_{\mathcal{H}_k}(x) \sim \pi_{\mathcal{H}_k}(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)^k$ et par la suite démontrer la conjecture de k uple.