الرياضيات بالعربية

بين أن جداء m عدد متتابع قابل للقسمة على m عاملي

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres بين أن جداء m عدد متتابع قابل للقسمة على m عاملي
بين أن جداء $m$ عدد متتابع قابل للقسمة على $m ! $ .

أي ليكن $m$ و $n$ عددان صحيحان طبيعيان . بين أن :

$m ! | n (n + 1) .... (n + m - 1)$
تذكيــــــر :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, n ! = 1 \times 2 \times 3 ....... \times (n-1) \times n$
و إصطلاحــــــــا :

$0! \, = \, 1$

لدينـــــا :

$\forall (n, k) \in \mathbb{N}^2 \, , \, k \leq n \, : \, \textrm{C}^{k}_{n} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

لاحظ أن $ \textrm{C}^{k}_{n} \in \mathbb{N} $ .


لدينـــــــا :

$\begin{array}{rcl}n \times (n + 1) .... (n + m - 1) & = & \frac{(n + m - 1) \times .... (n+1) \times n \times (n-1) \times ... 2 \times 1}{(n-1) ... 2 \times 1} \\ \\~ & = & \frac{(n + m - 1)!}{(n-1)!} \\ \\~ & = & m! \frac{(n - 1 + m)!}{m! (n-1)!} \\ \\~ & = & m! \textrm{C}^{m}_{n - 1 + m} \\ \\\end{array}$

لدينـــــــا :

$m! | m! \textrm{C}^{m}_{n - 1 + m}$

إذن :

${\color{DarkRed} \forall (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{*} \, : \, m ! | n (n + 1) .... (n + m - 1)}$


تطبـــــــيق :

من أجل : $m = 2$ لدينا :

$2 | n (n + 1)$