البرهان الأول :وهو معروف منذ عهد العالم أقليدس اليوناني (350 سنة قبل الميلاد) .
نرمز للعدد الأولي من الرتبة
$\displaystyle{\displaylines{i}}$ بــ
$\displaystyle{\displaylines{p_i}}$. لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7......}}$.
طريقة برهان أقليدس تستند إلى أن العدد
$\displaystyle{\displaylines{n = p_1 p_2 p_3 .... p_r + 1}}$ لا يقبل أي قاسم أولي أصغر من
$\displaystyle{\displaylines{p_r}}$.
إذا افترضنا ان مجموعة الأعداد الأولية منتهية وليكن
$\displaystyle{\displaylines{p_r}}$ أكبر عدد أولي. لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{n = p_1 p_2 p_3 .... p_r + 1}}$إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{i \in \{1,...,r\}}}$ لدينا
$\displaystyle{\displaylines{n - p_1 p_2... p_i .... p_r = 1}}$.
إذن
$\displaystyle{\displaylines{n - k p_i = 1}}$ومنه وحسب مبرهنة Bézout
$\displaystyle{\displaylines{\forall i \in \{1,...,r\} \quad n \wedge p_i = 1 }}$إذن
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد أولي لأنه أولي مع جميع الاعداد الاولية الاصغر منه وهذا تناقض على اعتبار ان
$\displaystyle{\displaylines{p_r}}$ هو اكبر عدد اولي ووجدنا
$\displaystyle{\displaylines{p_r << n}}$.
إذن الإفتراض خاطئ وحسب
البرهان بالخلف فإن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية.
البرهان الثاني :ليكن
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{n \wedge n+1 = 1}}$ ومنه العدد
$\displaystyle{\displaylines{n (n+1)}}$ يقبل على الاقل عددين اوليين
مختلفين كقواسم.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{n (n+1) \wedge n (n+1)+1 = 1}}$ إذن العدد
$\displaystyle{\displaylines{n (n+1) (n (n+1)+1)}}$ يقبل على الأقل 3 أعداد أولية مختلفة كقواسم.
وهكذا ...
سوف نحصل على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.
البرهان الثالث :نضع
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N} \quad u_n = F_n - 2}}$.
بحيث
$\displaystyle{\displaylines{F_n}}$ عدد فيرما :
$\displaystyle{\displaylines{F_n = 2^{2^{n}} + 1}}$ ( راجع
أعداد فيرما Nombres de Fermat )
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{u_n = F_0 F_1 ... F_{n-1}}}$.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{u_n}}$ يقبل على الاقل
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ قاسم أولي
مختلف , لان الاعداد
$\displaystyle{\displaylines{F_i}}$ اولية في ما بينها.
وبما ان
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = + \infty}}$ فانه يوجد عدد لانهائي من الاعداد الاولية.
