الرياضيات بالعربية

بين بأكثر من طريقة أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres بين بأكثر من طريقة أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية
بين بأكثر من طريقة أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية
البرهان الأول :

وهو معروف منذ عهد العالم أقليدس اليوناني (350 سنة قبل الميلاد) .

نرمز للعدد الأولي من الرتبة $i$ بــ $p_i$. لدينا : $p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7......$.

طريقة برهان أقليدس تستند إلى أن العدد $n = p_1 p_2 p_3 .... p_r + 1$ لا يقبل أي قاسم أولي أصغر من $p_r$.

إذا افترضنا ان مجموعة الأعداد الأولية منتهية وليكن $p_r$ أكبر عدد أولي. لدينا :

$n = p_1 p_2 p_3 .... p_r + 1$

إذا كان $i \in \{1,...,r\}$ لدينا $n - p_1 p_2... p_i .... p_r = 1$.

إذن $n - k p_i = 1$

ومنه وحسب مبرهنة Bézout $\forall i \in \{1,...,r\} \quad n \wedge p_i = 1 $

إذن $n$ عدد أولي لأنه أولي مع جميع الاعداد الاولية الاصغر منه وهذا تناقض على اعتبار ان $p_r$ هو اكبر عدد اولي ووجدنا $p_r << n$.

إذن الإفتراض خاطئ وحسب البرهان بالخلف فإن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية.



البرهان الثاني :

ليكن $n$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم.

لدينا $n \wedge n+1 = 1$ ومنه العدد $n (n+1)$ يقبل على الاقل عددين اوليين مختلفين كقواسم.

لدينا $n (n+1) \wedge n (n+1)+1 = 1$ إذن العدد $n (n+1) (n (n+1)+1)$ يقبل على الأقل 3 أعداد أولية مختلفة كقواسم.

وهكذا ...

سوف نحصل على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.


البرهان الثالث :

نضع   $\forall n \in \mathbb{N} \quad u_n = F_n - 2$.

بحيث $F_n$ عدد فيرما : $F_n = 2^{2^{n}} + 1$ ( راجع أعداد فيرما Nombres de Fermat )


لدينا $u_n = F_0 F_1 ... F_{n-1}$.

لدينا $u_n$ يقبل على الاقل $n$ قاسم أولي مختلف , لان الاعداد $F_i$ اولية في ما بينها.

وبما ان $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = + \infty$ فانه يوجد عدد لانهائي من الاعداد الاولية.