الرياضيات بالعربية

بين أن p لا يقسم العدد التالي

ليكن $p$ عدد أولي بحيث $p = 4k + 3$ و $k \in \mathbb{N}^{*}$

بين أن $\forall n \in \mathbb{N} \quad n^2 + 1 \wedge p = 1$
البرهان بالخلف :

تذكير: إذا كان $n \in \mathbb{N}$ و $p$ عدد أولي فإن $p$ يقسم $n$ أو $n \wedge p = 1$


لدينا $p=4k+3$ بحيث $p$ عدد أولي :

نفترض أنه يوجد $n$ من $\mathbb{N}$ بحيث $p$ يقسم $n^{2}+1$

لدينا $n^{2}+1 \equiv 0 [p] \iff n^{2} \equiv -1[p]$

وبالتالي $(n^{2})^{2k+1} \equiv -1[p] \iff n^{4k+2} \equiv -1[p]$

وبما أن $p = 4k+3$ فإن $n^{p-1} \equiv -1[p] \quad (1)$

ومن جهة أخرى لدينا : $p$ يقسم $n^{2}+1$ ومنه يوجد $h$ من $\mathbb{N}$ بحيث $n^{2}+1=ph$.

وبالتالي $p\times h - n \times n = 1$ ومنه و حسب مبرهنة Bézout فإن $n \wedge p = 1$

وبما أن $p$ عدد أولي و حسب مبرهنة Fermat الصغرى لدينا $n^{p-1} \equiv 1[p] \quad (2)$

من $(1)$ و $(2)$ لدينا $\left\{ \begin{array}{cl}n^{p-1} \equiv -1[p] & \ \\n^{p-1} \equiv 1[p] & \ \end{array} \right. \implies 2 n^{p-1} \equiv 0[p]$

لدينا إذن $p$ يقسم $2 n^{p-1}$

بما أن $p \wedge 2 = 1$ (لأن $p$ يكتب على شكل $4k+3$) وحسب مبرهنة Gauss فإن $p$ يقسم $n^{p-1}$.

وبما أن $p$ عدد أولي فإن $p$ يقسم $n$ وهذا تناقض! لأن $n \wedge p = 1$ .

إذن الإفتراض خاطئ ولا يمكن أن يوجد $n$ من $\mathbb{N}$ بحيث $p = 4k+3$ أولي يقسم $n^{2}+1$.

إذن $\forall n \in \mathbb{N} \quad n^{2}+1 \wedge p = 1$