Lagrida
Accueil Math en arabe
التمرين السادس في أولمبياد 1988

التمرين السادس في أولمبياد 1988

ليكن $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{b}}$ عددين صحيحين طبيعيين بحيث $\displaystyle{\displaylines{ab+1}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a^2 + b^2}}$, بين أن :

$\displaystyle{\displaylines{\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}}}$   مربع كامل.



ومن أجل ذلك ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{n = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}}}$

بحيث $\displaystyle{\displaylines{n \neq 0}}$

نعرف المجموعتين :

$\displaystyle{\displaylines{A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 \ \middle | \ \dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1} = n\right\}, \qquad B = \{ x+y \, | \, (x,y) \in A \}}}$

1) بين أن المجموعتين $\displaystyle{\displaylines{A}}$ و $\displaystyle{\displaylines{B}}$ غير فارغتين, ثم أن المجموعة $\displaystyle{\displaylines{B}}$ تقبل أصغر عنصر $\displaystyle{\displaylines{t}}$.

2) بوضعك $\displaystyle{\displaylines{t = \alpha + \beta}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{(\alpha, \beta) \in A}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\alpha \geq \beta}}$ بين أن $\displaystyle{\displaylines{\beta = 0}}$ ثم استنتج أن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ مربع كامل.
لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 \ \middle | \ \dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1} = n\right\}, \qquad B = \{ x+y \, | \, (x,y) \in A \}}}$

ولدينا $\displaystyle{\displaylines{n = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{a,b \in \mathbb{N}}}$.

إذن $\displaystyle{\displaylines{(a,b) \in A, \qquad (a+b) \in B}}$

خلاصة: المجموعتين $\displaystyle{\displaylines{A}}$ و $\displaystyle{\displaylines{B}}$ غير فارغتين.

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{B \subset \mathbb{N}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{B \neq \emptyset}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{B}}$ تقبل أصغر عنصر $\displaystyle{\displaylines{t = \min B}}$


ليكن $\displaystyle{\displaylines{t = \min B}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{t = \alpha + \beta}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta+1} = n}}$

يمكننا ترتيب العددين $\displaystyle{\displaylines{\alpha}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\beta}}$

نضع $\displaystyle{\displaylines{\alpha \geq \beta}}$

لنبين أن $\displaystyle{\displaylines{\beta = 0}}$

نفترض بالخلف ان $\displaystyle{\displaylines{\beta \neq 0}}$

ونعتبر المعادلة التالية في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ : $\displaystyle{\displaylines{\frac{x^2 + \beta^2}{x \beta + 1} = n}}$

لدينا

$\displaystyle{\displaylines{\dfrac{x^2 + \beta^2}{x \beta + 1} = n \iff x^2 - n \beta x + (\beta^2 - n) = 0\quad (E)}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{\alpha}}$ جذر للمعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$

وبما ان مجموع جذري المعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$ يساوي $\displaystyle{\displaylines{n \beta}}$

فان الجذر الآخر هو $\displaystyle{\displaylines{n \beta - \alpha}}$

لدينا إذن $\displaystyle{\displaylines{\dfrac{(n \beta - \alpha)^2 + \beta^2}{(n \beta - \alpha) \beta + 1} = n}}$

بقي فقط أن نتحقق أن $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha) \in \mathbb{N}}}$ حتى نقول أن $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha, \beta) \in A}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{\dfrac{(n \beta - \alpha)^2 + \beta^2}{(n \beta - \alpha) \beta + 1} = n}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha) \beta + 1 > 0}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{(\beta \neq 0) \qquad n \beta - \alpha > - \dfrac{1}{\beta}}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{n \beta - \alpha \geq 0}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{n \beta - \alpha \in \mathbb{N}}}$ وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha, \beta) \in A}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{\Big( (n \beta - \alpha) + \beta \Big) \in B}}$

من جهة أخرى لدينا $\displaystyle{\displaylines{\beta \leq \alpha}}$ إذن :

$\displaystyle{\displaylines{n = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta + 1} < \frac{2 \alpha^2}{\alpha \beta}}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{n \beta - \alpha < \alpha}}$

أي أن $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha) + \beta < \alpha + \beta}}$

وهذا تناقض لأنه لدينا $\displaystyle{\displaylines{\alpha+\beta = \min B}}$

إذن الإفتراض خاطئ ولدينا $\displaystyle{\displaylines{\beta = 0}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{n = \alpha^2}}$

وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}}}$ مربع كامل
Accueil Math en arabe
التمرين السادس في أولمبياد 1988
التعليقات :
Fahad Fhid
14/11/2019 05:03
صحيح
Souad
09/04/2021 01:54
صحيح
Rachid
13/04/2021 12:47
Correcte
إضافة تعليق