ليكن
$\displaystyle{\displaylines{a}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{b}}$ عددين صحيحين طبيعيين بحيث
$\displaystyle{\displaylines{ab+1}}$ يقسم
$\displaystyle{\displaylines{a^2 + b^2}}$, بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}}}$ مربع كامل.
ومن أجل ذلك ليكن
$\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{n = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}}}$بحيث
$\displaystyle{\displaylines{n \neq 0}}$نعرف المجموعتين :
$\displaystyle{\displaylines{A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 \ \middle | \ \dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1} = n\right\}, \qquad B = \{ x+y \, | \, (x,y) \in A \}}}$1) بين أن المجموعتين
$\displaystyle{\displaylines{A}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{B}}$ غير فارغتين, ثم أن المجموعة
$\displaystyle{\displaylines{B}}$ تقبل أصغر عنصر
$\displaystyle{\displaylines{t}}$.
2) بوضعك
$\displaystyle{\displaylines{t = \alpha + \beta}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{(\alpha, \beta) \in A}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{\alpha \geq \beta}}$ بين أن
$\displaystyle{\displaylines{\beta = 0}}$ ثم استنتج أن
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ مربع كامل.
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 \ \middle | \ \dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1} = n\right\}, \qquad B = \{ x+y \, | \, (x,y) \in A \}}}$
ولدينا $\displaystyle{\displaylines{n = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{a,b \in \mathbb{N}}}$.
إذن $\displaystyle{\displaylines{(a,b) \in A, \qquad (a+b) \in B}}$
خلاصة: المجموعتين $\displaystyle{\displaylines{A}}$ و $\displaystyle{\displaylines{B}}$ غير فارغتين.
وبما أن $\displaystyle{\displaylines{B \subset \mathbb{N}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{B \neq \emptyset}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{B}}$ تقبل أصغر عنصر $\displaystyle{\displaylines{t = \min B}}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{t = \min B}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{t = \alpha + \beta}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta+1} = n}}$
يمكننا ترتيب العددين $\displaystyle{\displaylines{\alpha}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\beta}}$
نضع $\displaystyle{\displaylines{\alpha \geq \beta}}$
لنبين أن $\displaystyle{\displaylines{\beta = 0}}$
نفترض بالخلف ان $\displaystyle{\displaylines{\beta \neq 0}}$
ونعتبر المعادلة التالية في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ : $\displaystyle{\displaylines{\frac{x^2 + \beta^2}{x \beta + 1} = n}}$
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\dfrac{x^2 + \beta^2}{x \beta + 1} = n \iff x^2 - n \beta x + (\beta^2 - n) = 0\quad (E)}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{\alpha}}$ جذر للمعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$
وبما ان مجموع جذري المعادلة $\displaystyle{\displaylines{(E)}}$ يساوي $\displaystyle{\displaylines{n \beta}}$
فان الجذر الآخر هو $\displaystyle{\displaylines{n \beta - \alpha}}$
لدينا إذن $\displaystyle{\displaylines{\dfrac{(n \beta - \alpha)^2 + \beta^2}{(n \beta - \alpha) \beta + 1} = n}}$
بقي فقط أن نتحقق أن $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha) \in \mathbb{N}}}$ حتى نقول أن $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha, \beta) \in A}}$
لدينا $\displaystyle{\displaylines{\dfrac{(n \beta - \alpha)^2 + \beta^2}{(n \beta - \alpha) \beta + 1} = n}}$
إذن $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha) \beta + 1 > 0}}$
وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{(\beta \neq 0) \qquad n \beta - \alpha > - \dfrac{1}{\beta}}}$
إذن $\displaystyle{\displaylines{n \beta - \alpha \geq 0}}$
إذن $\displaystyle{\displaylines{n \beta - \alpha \in \mathbb{N}}}$ وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha, \beta) \in A}}$
وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{\Big( (n \beta - \alpha) + \beta \Big) \in B}}$
من جهة أخرى لدينا $\displaystyle{\displaylines{\beta \leq \alpha}}$ إذن :
$\displaystyle{\displaylines{n = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta + 1} < \frac{2 \alpha^2}{\alpha \beta}}}$
إذن $\displaystyle{\displaylines{n \beta - \alpha < \alpha}}$
أي أن $\displaystyle{\displaylines{(n \beta - \alpha) + \beta < \alpha + \beta}}$
وهذا تناقض لأنه لدينا $\displaystyle{\displaylines{\alpha+\beta = \min B}}$
إذن الإفتراض خاطئ ولدينا $\displaystyle{\displaylines{\beta = 0}}$
إذن $\displaystyle{\displaylines{n = \alpha^2}}$
وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}}}$ مربع كامل