الرياضيات بالعربية

تصحيح الحسابيات في بكالوريا 2016 الدورة العادية

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres تصحيح الحسابيات في بكالوريا 2016 الدورة العادية
تصحيح الحسابيات في بكالوريا 2016 الدورة العادية

الجزء الأول: لتكن $a, b$ عددين من $\mathbb{N}^{*}$ بحيث العدد الأولي $173$ يقسم $a^3 + b^3$.


1) بين أن $a^{171} \equiv -b^{171}[173]$ (لاحظ أن $171 = 3 \times 57$)

2) بين $173$ يقسم $a$ إذا وفقط إذا كان $173$ يقسم $b$

3) نفترض أن $173$ يقسم $a$ .بين أن $173$ يقسم $a+b$.

4) نفترض أن $173$ لا يقسم $a$ :

1.4) باستعمال مبرهنة Fermat الصغرى بين أن $a^{172} \equiv b^{172} [173]$

2.4) بين ان $a^{171} (a + b) \equiv 0 [173]$

3.4) استنتج ان $173$ يقسم $a+b$.

الجزء الثاني: نعتبر في $\mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}$ : $(E) \quad x^3 + y^3 = 173(xy+1)$


ليكن $(x,y)$ عنصرا من $\mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}$ حلا للمعادلة $(E)$

نضع $x + y = 173 k$ بحيث $k \in \mathbb{N}^{*}$

1) تحقق أن $k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1$

2) بين أن $k = 1$ وحل المعادلة $(E)$.
لدينا $173$ يقسم $a^3 + b^3$ إذن

$\begin{array}{rcl}a^3 + b^3 & \equiv & 0 [173] \\a^3 & \equiv & -b^3 [173] \\(a^3)^{57} & \equiv & (-b^3)^{57}[173] \\a^{171} & \equiv & -b^{171} [173]\end{array}$


نفترض أن $173$ يقسم $a$.

إذن $173$ يقسم $a^3$

وبما أن $173$ يقسم $a^3 + b^3$ فإن

$173$ يقسم $(a^3 + b^3) - a^3$

إذن $173$ يقسم $b^3$.

وبما أن $173$ عدد أولي, لدينا $173$ تقسم $b$.

وبالمثل نبين أنه إذا كان $173$ يقسم $b$ فإن $173$ يقسم $a$.

خلاصة : $173$ يقسم $a$ $\Leftrightarrow$ $173$ يقسم $b$


نفترض أن $173$ يقسم $a$.

إذن $173$ يقسم $b$.

وبالتالي $173$ يقسم $a+b$.


ملاحظة هامة : إذا كان $p$ عدد أولي و $n \in \mathbb{N}^{*}$ فإن $p$ تقسم $n$ أو $p \wedge n = 1$.

لدينا $173$ عدد أولي لا يقسم $a$ إذن $173 \wedge a = 1$.

لدينا أيضا حسب السؤال (2) $173$ لا يقسم $b$ إذن $173 \wedge b = 1$.

حسب مبرهنة Fermat الصغرى لدينا :

$a^{172} \equiv 1 [173]$ و $b^{172} \equiv 1 [173]$

إذن $a^{172} \equiv b^{172} [173]$


حسب السؤال الاول لدينا $a^{171} \equiv -b^{171}[173]$.

إذن $b a^{171} \equiv - b^{172}[173]$

وحسب السؤال (1.4) لدينا $- b^{172} \equiv - a^{172} [173]$

إذن $b a^{171} \equiv - a^{172} [173]$

وبالتالي $a^{171} (a + b) \equiv 0 [173]$


ملاحظة هامة : لتكن $a,b,n$ أعداد من $\mathbb{N}^{*}$ لدينا

$\begin{array}{rcl}a \wedge b = 1 & \Leftrightarrow & a^n \wedge b = 1 \\& \Leftrightarrow & a^n \wedge b^n = 1 \\\end{array}$

( راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر ).

لدينا حسب السؤال السابق $173$ تقسم $a^{171} (a + b)$.

لدينا $a \wedge 173 = 1$ إذن $a^{171} \wedge 173 = 1$

ومنه وحسب مبرهنة Gauss لدينا $173$ تقسم $a + b$.


ملاحظة هامة : يجب معرفة المتطابقة الهامة $a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)$

ليكن $(x,y)$ عنصرا من $\mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}$ حلا للمعادلة $(E)$ لدينا

$\begin{array}{rcl}x^3 + y^3 & = & x^3 - (-y^3) \\& = & (x+y)(x^2-xy+y^2) \\\end{array}$

ولدينا $x + y = 173 k$ نقوم بالتعويض في المعادلة $(E)$ لدينا :

$173 k (x^2-xy+y^2) = 173 (xy + 1)$

إذن $k (x^2-2xy+y^2)+kxy-xy = 1$

وبالتالي $k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1$


لدينا $k, x, y$ أعداد من $\mathbb{N}^{*}$

ولدينا $k (x-y)^2 \geq 0$ و $(k-1) xy \geq 0$ مع $k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1$

إذن أحد الحدود يساوي $1$ و الآخر يساوي $0$.

* إذا كان $k (x-y)^2 = 0$ إذن $x - y = 0$ (لان $k \in \mathbb{N}^{*}$)

أي ان $x = y$, وفي نفس الوقت $(k - 1) xy = 1$

أي $(k-1) x^2 = 1$ إذن $k=2$ و $x = 1$ وهذا تناقض لأن $x+y = 2x = 2 = 173k = 173 \times 2$

إذن الافتراض خاطئ ولدينا $(k-1) xy = 0$ إذن $k = 1$.

حسب السؤال السابق المعادلة $(E)$ تكافئ $\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ (x-y)^2 = 1\end{matrix}\right.$

المعادلة $(E)$ تكافئ :

$\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ x-y = 1\end{matrix}\right.$ أو $\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ x-y = -1\end{matrix}\right.$

الحل هو $(87, 86)$ والحل الآخر $(86, 87)$ .

وعكسيا الحلول تحقق المعادلة $(E)$

مجموعة حلول المعادلة $(E)$ $S = \{(87, 86) ; (86, 87)\}$