Lagrida
Accueil Math en arabe
بين أن جذر مربع أي عدد غير مربع كامل عدد لاجذري

بين أن جذر مربع أي عدد غير مربع كامل عدد لاجذري

ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{n}}$ ليس مربع كامل.

بين ان $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}}}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{n\in\mathbb{N}^*}}$ ليس مربع كامل.

البرهان بالخلف :

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n}\in\mathbb{Q}}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{\exists (p,q)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}^*}}$ و $\displaystyle{\displaylines{p\wedge q=1}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n}=\frac{p}{q}}}$.

لدينا $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n}=\frac{p}{q}}}$ اذن $\displaystyle{\displaylines{n q^2 = p^2}}$

وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{q^2}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{p^2}}$ إذن : $\displaystyle{\displaylines{q^2 \wedge p^2 = q^2}}$

ولدينا : $\displaystyle{\displaylines{p\wedge q=1}}$ اذن $\displaystyle{\displaylines{q^2 \wedge p^2 = 1}}$, راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر.

إذن $\displaystyle{\displaylines{q = 1}}$ وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n}=\frac{p}{q} = p}}$

أي أن $\displaystyle{\displaylines{n = p^2}}$

وهذا تناقض لأن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ مربع غير كامل.

إذن الافتراض خاطئ و $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}}}$.
Accueil Math en arabe
بين أن جذر مربع أي عدد غير مربع كامل عدد لاجذري
التعليقات :
Abderrahim el mouden
08/10/2021 02:55
المرجو الإجابة عن هدا السؤال بين أن جذر 3n+5 لا ينتمي إلى N
Lagrida - المدير -
08/10/2021 04:04
يكفي إثبات أن المعادلة $\displaystyle{\displaylines{3n+5=k^2}}$ لا تقبل حلا في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^2}}$.
يمكننا إثبات ذلك بسهولة عبر ملاحظة أن $\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \mathbb{N} \ : \ k^2 \equiv 0 [3] \ \text{or} \ k^2 \equiv 1 [3]}}$
بينما لدينا $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N} \ : \ 3n+5 \equiv 2 [3]}}$.
ايوب
10/10/2023 14:36
المرجو الاجابة عن هدا السؤال
Q بين بالاستدلال بالخلف ان √2 لاينتمي الا
إضافة تعليق