الرياضيات بالعربية

بين ان جذر اي عدد غير مربع كامل غير جذري

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres بين ان جذر اي عدد غير مربع كامل غير جذري
ليكن $n \in \mathbb{N}$ بحيث $n$ ليس مربع كامل.

بين ان $\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}$
ليكن $n\in\mathbb{N}^*$ ليس مربع كامل.

نفرض أن $\sqrt{n}\in\mathbb{Q}$, إذن $\exists (p,q)\in\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}^*$ و $p\wedge q=1$ بحيث $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$.

لدينا $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ اذن $n q^2 = p^2$

وبالتالي $q^2 \wedge p^2 = q^2$.

ولدينا $p\wedge q=1$ اذن $q^2 \wedge p^2 = 1$, راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر.

إذن $q = 1$ ولدينا $\sqrt{n}=\frac{p}{q} = p$ وهذا تناقض لأن $n$ مربع غير كامل.

إذن الافتراض خاطئ و $\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}$.