ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{n}}$ ليس مربع كامل.
بين ان $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{n\in\mathbb{N}^*}}$ ليس مربع كامل.
البرهان بالخلف :نفترض أن
$\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n}\in\mathbb{Q}}}$إذن
$\displaystyle{\displaylines{\exists (p,q)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}^*}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{p\wedge q=1}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n}=\frac{p}{q}}}$.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n}=\frac{p}{q}}}$ اذن
$\displaystyle{\displaylines{n q^2 = p^2}}$وبالتالي فإن
$\displaystyle{\displaylines{q^2}}$ يقسم
$\displaystyle{\displaylines{p^2}}$ إذن :
$\displaystyle{\displaylines{q^2 \wedge p^2 = q^2}}$ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{p\wedge q=1}}$ اذن
$\displaystyle{\displaylines{q^2 \wedge p^2 = 1}}$,
راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر.
إذن
$\displaystyle{\displaylines{q = 1}}$ وبالتالي
$\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n}=\frac{p}{q} = p}}$أي أن
$\displaystyle{\displaylines{n = p^2}}$وهذا تناقض لأن
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ مربع غير كامل.
إذن الافتراض خاطئ و
$\displaystyle{\displaylines{\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}}}$.