الرياضيات بالعربية

مجموع مقلوب الأعداد الأولية متباعد

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres مجموع مقلوب الأعداد الأولية متباعد
الهدف من هذا التمرين هو إثبات ان مجموع مقلوب الأعداد الأولية متباعد. أي أن :

$\sum_{\text{p premier}} \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... = \infty$

ليكن $n \in \mathbb{N}$ بحيث $n \geq 2$.

نعطي $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

1) بين أن $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq \bigg(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\bigg) \prod\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} (1 + \frac{1}{p})$.

2) باستغلالك للعلاقة : $\forall x \in \mathbb{R} \quad 1 + x \leq e^x$ بين أن

$\sum\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} \frac{1}{p} \geq \ln(\ln(n+1)) - \ln(\frac{\pi^2}{6})$

3) استنتج.

ليكن $k \in \{1,2,...,n\}$ و $p_1,p_2,....,p_r$ الاعداد الاولية الاصغر من $n$.

لدينا يوجد عددين وحيدين $a,b \in \{1,2,...,n\}$ بحيث : $k = a b^2$.

بحيث التفكيك لجداء عوامل اولية للعدد$a = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}...p_r^{\alpha_r}$ مع $\forall i \in \{1,...,r\} \quad \alpha_i \in \{0,1\}$.

إذن $k = \bigg(\prod_{p | a}p \bigg) b^2$

لاحظ ان الجداء $\prod\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} (1 + \frac{1}{p})$ يعطينا جميع الحالات الممكنة للعدد $\frac{1}{a}$ مضروبة في عدد أكبر من $1$.

إذن الجداء $\bigg(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\bigg) \prod\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} (1 + \frac{1}{p})$ سيكون اكبر من $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$.


لدينا $\forall x \in \mathbb{R} \quad 1+x \leq e^x$ من أجل $x = \frac{1}{p}$ لدينا : $1 + \frac{1}{p} \leq e^{\frac{1}{p}}$.

نقوم بالضرب في جميع الاعداد الاولية الاصغر من $n$ لدينا :$\prod\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}}(1+\frac{1}{p}) \leq \prod\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} e^{\frac{1}{p}} = e^{\sum\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} \frac{1}{p}}$

لدينا ايضا $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$

ومنه نستنتج $\bigg(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\bigg) \prod\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} (1 + \frac{1}{p}) \leq \frac{\pi^2}{6} e^{\sum\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} \frac{1}{p}}$.

اذن $\forall n \in \mathbb{N} , n \geq 2 \quad \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq \frac{\pi^2}{6} e^{\sum\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} \frac{1}{p}} $.

ليكن $k \in \{1,...,n\}$ و $t \in [k, k+1]$ لدينا :

$\frac{1}{t} \leq \frac{1}{k}$.

اذن $\int_{k}^{k+1} \frac{dt}{t} \leq \int_{k}^{k+1} \frac{dt}{k}$.

اذن $\ln(k+1) - \ln(k) \leq \frac{1}{k}$.

اذن $\sum_{k=1}^{n}\ln(k+1) - \ln(k) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$.

وبالتالي $\ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$.

إذن $\ln(n+1) \leq \frac{\pi^2}{6} e^{\sum\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} \frac{1}{p}} $.

ومنه $\ln(\ln(n+1)) - \ln(\frac{\pi^2}{6}) \leq \sum\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} \frac{1}{p}$.


لدينا $\forall n \in \mathbb{N}, n\geq 2 \quad \ln(\ln(n+1)) - \ln(\frac{\pi^2}{6}) \leq \sum\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} \frac{1}{p}$.

وبما ان $\lim_{n \rightarrow +\infty} \ln(\ln(n+1)) - \ln(\frac{\pi^2}{6}) = + \infty$.

فإن $\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum\limits_{\mathop{\text{p premier}}\limits_{p \leq n}} \frac{1}{p} = +\infty$.