الرياضيات بالعربية

إثبات حالة خاصة من مبرهنة فيرما الكبرى

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres إثبات حالة خاصة من مبرهنة فيرما الكبرى
ليكن $n \in \mathbb{N}$ بحيث $n > 2$ عدد فردي.

نعتبر المعادلة التالية في $\mathbb{N}^3$ : $(E) \quad x^n + y^n = z^n$

بين ان المعادلة $E$ لا تقبل حلا بحيث $x+y$ أولي.
نفرض انه يوجد حل $(x,y,z) \in \mathbb{N}^3$ بحيث $x^n + y^n = z^n$ و $x+y$ عدد اولي.

لدينا $n$ فردي اذن $x^n + y^n = x^n - (-y)^n$

ولدينا $x^n - (-y)^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+.....+x(-y)^{n-2}+(-y)^{n-1})$

إذن $x+y \, | \, x^n+y^n=z^n$ وبما ان $x+y$ أولي فان $x+y \, | \, z$

اذن $(x+y)^n \, | \, z^n = x^n+y^n$ و هذا تناقض لان $(x+y)^n > x^n+y^n$

إذن المعادلة $E$ لا يمكن ان تقبل حلا بحيث $x+y$ اولي.