Lagrida
Accueil Math en arabe
بين المتساويتين التاليتين

بين المتساويتين التاليتين

لتكن $\displaystyle{\displaylines{a,b,c,n}}$ أعدادا من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^{*}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{n \geq 2}}$.

بين أن

$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}a \wedge b & = \ 1 \\ab & = \ c^n\end{array} \right. \implies \exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{N^{*}}^2 \ : \ a = \alpha^n, \quad b = \beta^n}}$
الطريقة الأولى :

نضع $\displaystyle{\displaylines{a = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} ... p_k^{\alpha_k}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{b = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} ... p_k^{\beta_k}}}$. التفكيك لجداء أعداد أولية ل $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{b}}$.

قمنا بوضع نفس الأعداد الأولية ل$\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{b}}$ لأنه إذا كان $\displaystyle{\displaylines{p_i}}$ لا يوجد في تفكيك $\displaystyle{\displaylines{a}}$ نضع $\displaystyle{\displaylines{\alpha_i = 0}}$ وإذا لم يوجد في $\displaystyle{\displaylines{b}}$ نضع $\displaystyle{\displaylines{\beta_i = 0}}$.

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{a b = p_1^{\alpha_1+\beta_1} p_2^{\alpha_2+\beta_2} ... p_k^{\alpha_k + \beta_k}}}$

وبما ان $\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1}}$ فإنه كيفما كان $\displaystyle{\displaylines{i}}$ من $\displaystyle{\displaylines{\{1,..,k\}}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{\alpha_i = 0}}$ أو $\displaystyle{\displaylines{\beta_i=0}}$ مع $\displaystyle{\displaylines{\alpha_i + \beta_i \neq 0}}$.

$\displaystyle{\displaylines{\forall i \in \{1,..,k\} \, : \, \alpha_i + \beta_i = \left\{\begin{matrix}\alpha_i \quad \text{si : } \ \beta_i=0 \\ \beta_i \quad \text{si : } \ \alpha_i=0\end{matrix}\right.}}$

ولدينا : $\displaystyle{\displaylines{ab = c^n}}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{c = p_1^{\gamma_1} p_2^{\gamma_2} ... p_k^{\gamma_k}}}$

لأن العوامل الأولية للعدد $\displaystyle{\displaylines{c}}$ هي نفسها ل $\displaystyle{\displaylines{ab}}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{c^n = p_1^{n \gamma_1} p_2^{n \gamma_2} ... p_k^{n \gamma_k}}}$

وبما أن التفكيك إلى جداء عوامل أولية وحيد :

$\displaystyle{\displaylines{\forall i \in \{1,..,k\} \ : \ \alpha_i + \beta_i = n \gamma_i}}$


$\displaystyle{\displaylines{\forall i \in \{1,..,k\} \ : \ \alpha_i = \left\{\begin{matrix}0\\ \text{ou} \\n \gamma_i\end{matrix}\right.}}$

$\displaystyle{\displaylines{\forall i \in \{1,..,k\} \, : \, \beta_i = \left\{\begin{matrix}0\\ \text{ou} \\n \gamma_i\end{matrix}\right.}}$

وبالتالي فإنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{\alpha}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\beta}}$ من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}}}$ بحيث :

$\displaystyle{\displaylines{a = \alpha^n, \quad b = \beta^n}}$


الطريقة الثانية :

لدينا $\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{ab = c^n}}$

نضع $\displaystyle{\displaylines{d = a \wedge c}}$

لنبين أن : $\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}a & = \ d^n \\b & = \ \beta^n\end{array} \right.}}$

لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{a \wedge c = d \iff \left\{\begin{matrix}\exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{N}^2 \ : \ a = \alpha d, \quad c = \beta d \\ \alpha \wedge \beta = 1\end{matrix}\right.}}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{ab = \alpha d b = \beta^n d^n}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{\alpha b = d^{n-1} \beta^n}}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\alpha \wedge \beta = 1 \iff \alpha \wedge \beta^n = 1}}$. راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر.

إذن حسب مبرهنة Gauss لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}\beta^n \, | \, \alpha b\\ \alpha \wedge \beta^n = 1\end{matrix}\right. \implies \beta^n \, | \, b}}$


بقي ان نبين ان $\displaystyle{\displaylines{b \, | \, \beta^n}}$ ومن أجل ذلك لنبين أن $\displaystyle{\displaylines{b \wedge d = 1}}$.

نضع $\displaystyle{\displaylines{b \wedge d = d_1}}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{d_1 | d}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{d_1 | a}}$. ولدينا $\displaystyle{\displaylines{d_1 | b}}$ وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{d_1 | a \wedge b = 1}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{d_1 = 1}}$.

إذن حسب مبرهنة Gauss لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\left\{\begin{matrix}b \, | \, d^{n-1} \beta^n\\ b \wedge d^{n-1} = 1\end{matrix}\right. \implies b \, | \, \beta^n}}$


لدينا $\displaystyle{\displaylines{b \, | \, \beta^n}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\beta^n \, | \, b}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{b = \beta^n}}$

وبما ان $\displaystyle{\displaylines{\alpha b = d^{n-1} \beta^n}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{\alpha = d^{n-1}}}$

وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{a = \alpha d = d^n}}$

خلاصة :

$\displaystyle{\displaylines{a = d^n, \quad b = \beta^n}}$
Accueil Math en arabe
بين المتساويتين التاليتين
التعليقات :
إضافة تعليق