الرياضيات بالعربية

تمرين جميل

لتكن $a,b,c,n$ أعدادا من $\mathbb{N}^{*}$ و $n \geq 2$.


بين أن

$\left\{\begin{matrix}a \wedge b = 1\\ ab = c^n\end{matrix}\right. \Rightarrow \exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{N^{*}}^2 \, : \, a = \alpha^n \quad b = \beta^n$
الطريقة الأولى :

نضع $a = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} ... p_k^{\alpha_k}$ و $b = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} ... p_k^{\beta_k}$. التفكيك لجداء أعداد أولية ل $a$ و $b$.

قمنا بوضع نفس الأعداد الأولية ل$a$ و $b$ لأنه إذا كان $p_i$ لا يوجد في تفكيك $a$ نضع $\alpha_i = 0$ وإذا لم يوجد في $b$ نضع $\beta_i = 0$.

لدينا : $a b = p_1^{\alpha_1+\beta_1} p_2^{\alpha_2+\beta_2} ... p_k^{\alpha_k + \beta_k}$.

وبما ان $a \wedge b = 1$ فإنه كيفما كان $i$ من $\{1,..,k\}$ لدينا $\alpha_i = 0$ أو $\beta_i=0$ مع $\alpha_i + \beta_i \neq 0$.

$\forall i \in \{1,..,k\} \, : \, \alpha_i + \beta_i = \left\{\begin{matrix}\alpha_i \quad si \;\beta_i=0 \\ \beta_i \quad si \;\alpha_i=0\end{matrix}\right.$


الآن نمر الى تفكيك العدد $c$ لدينا : $c = p_1^{\gamma_1} p_2^{\gamma_2} ... p_k^{\gamma_k}$.

لأن العوامل الأولية للعدد $c$ هي نفسها ل $ab$.

لدينا : $c^n = p_1^{n \gamma_1} p_2^{n \gamma_2} ... p_k^{n \gamma_k}$

لدينا $ab = c^n$ وبما أن التفكيك إلى جداء عوامل أولية وحيد :

$\forall i \in \{1,..,k\} \, : \, \alpha_i + \beta_i = n \gamma_i$


$\forall i \in \{1,..,k\} \, : \, \alpha_i = \left\{\begin{matrix}0\\ ou \\n \gamma_i\end{matrix}\right.$


$\forall i \in \{1,..,k\} \, : \, \beta_i = \left\{\begin{matrix}0\\ ou \\n \gamma_i\end{matrix}\right.$


وبالتالي فإنه يوجد $\alpha$ و $\beta$ من $\mathbb{N}$ بحيث :

$a = \alpha^n \quad b = \beta^n$


الطريقة الثانية :

لدينا $a \wedge b = 1$ و $ab = c^n$

نضع $d = a \wedge c$.

إذن يوجد $\alpha, \beta$ من $\mathbb{N}$ بحيث : $a = \alpha d \quad c = \beta d$ و $\alpha \wedge \beta = 1$.

لدينا : $ab = \alpha d b = \beta^n d^n$.

إذن : $\alpha b = d^{n-1} \beta^n$.

لدينا : $\alpha \wedge \beta = 1 \Leftrightarrow \alpha \wedge \beta^n = 1$. راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر.

إذن حسب مبرهنة Gauss لدينا :

$\left\{\begin{matrix}\beta^n \, | \, \alpha b\\ \alpha \wedge \beta^n = 1\end{matrix}\right. \Rightarrow \beta^n \, | \, b$


بقي ان نبين ان $b \, | \, \beta^n$ ومن أجل ذلك لنبين أن $b \wedge d = 1$.

نضع $b \wedge d = d_1$

لدينا : $d_1 | d$ إذن $d_1 | a$. ولدينا $d_1 | b$ وبالتالي :

$d_1 | a \wedge b = 1$ إذن $d_1 = 1$.

إذن حسب مبرهنة Gauss لدينا :

$\left\{\begin{matrix}b \, | \, d^{n-1} \beta^n\\ b \wedge d^{n-1} = 1\end{matrix}\right. \Rightarrow b \, | \, \beta^n$


لدينا $b \, | \, \beta^n$ و $\beta^n \, | \, b$.

إذن : $b = \beta^n$.

وبما ان $\alpha b = d^{n-1} \beta^n$

إذن : $\alpha = d^{n-1}$

ولدينا $a = \alpha d = d^n$.

خلاصة :

$a = d^n \quad b = \beta^n$