ليكن
$\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}^{*}}}$, نرمز بــ
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(n)}}$ لمجموع قواسم
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ الموجبة.
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(n) = \sum_{d | n}d}}$.
نعطي :
$\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1 \implies \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)}}$.
نقول عن عدد
$\displaystyle{\displaylines{a \in \mathbb{N}^{*}}}$ أنه كامل (
nombre parfait) إذا وفقط إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(a) = 2a}}$.
أمثلة : $\displaystyle{\displaylines{6, 28, 496, 8128}}$ أعداد كاملة.
نقول عن عدد
$\displaystyle{\displaylines{E_p}}$ أنه عدد أقليدس إذا وفقط إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{E_p = 2^{p-1} (2^p - 1)}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{p}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{2^p - 1}}$ عددين أوليين.
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{E_p}}$ عدد أقليدس.
1) أوجد جميع قواسم العدد $\displaystyle{\displaylines{E_p}}$.
2) استنتج أن جميع أعداد أقليدس كاملة.
3) ليكن $\displaystyle{\displaylines{N}}$ عدد كامل زوجي, بين أنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{m,q}}$ عددين من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^{*}}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{N = 2^{m-1} q}}$ و $\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد فردي.
1.3) بين أنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{r \in \mathbb{N}^{*}}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{q = (2^m - 1) r}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\sigma(q) = 2^m r }}$.
2.3) بين أن $\displaystyle{\displaylines{r = 1}}$.
3.3) بين أن $\displaystyle{\displaylines{m}}$ و $\displaystyle{\displaylines{2^m -1}}$ أعداد أولية.
4.3) استنتج أن $\displaystyle{\displaylines{ N = E_m}}$.
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{E_{p} = 2^{p-1} (2^p - 1)}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{p}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{2^p - 1}}$ أوليان.
إذن قواسم العدد
$\displaystyle{\displaylines{E_p}}$ هي :
$\displaystyle{\displaylines{1,2,2^2, \cdots ,2^{p-1},(2^p - 1),2(2^p - 1),\cdots,2^{p-1}(2^p - 1)}}$
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\sigma(E_p) & = & 1+2+2^2+\cdots +2^{p-1} \\& & +(2^p - 1)+2(2^p - 1)+2^2(2^p - 1)\cdots +2^{p-1}(2^p - 1) \\& = & 2^p\Big(1+2+2^2+\cdots +2^{p-1}\Big) \\& = & 2^p\dfrac{2^p-1}{2-1} = 2^p(2^p-1) \\& = & 2 \, 2^{p-1}(2^p-1) \\& = & 2 \, E_p\end{array}}}$
وبالتالي فإن الأعداد
$\displaystyle{\displaylines{E_p}}$ هي أعداد كاملة.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{N}}$ عدد زوجي وبالتالي فإن
$\displaystyle{\displaylines{N}}$ يكتب على الشكل
$\displaystyle{\displaylines{N = 2^{m-1} q}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{m-1}}$ أكبر أس بحيث
$\displaystyle{\displaylines{2^{m-1}}}$ يقسم
$\displaystyle{\displaylines{N}}$.
لاحظ أن
$\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد فردي و
$\displaystyle{\displaylines{m-1 \neq 0}}$ لأن
$\displaystyle{\displaylines{N}}$ زوجي.
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\exists (m,q) \in \mathbb{N^{*}}^{2} \, : \, N = 2^{m-1} q}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد فردي.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{ N = 2^{m-1} q}}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد فردي.
لدينا إذن :
$\displaystyle{\displaylines{2^{m-1} \wedge q = 1}}$نعلم أن
$\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1 \implies \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)}}$وبالتالي لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(N) = \sigma(2^{m-1} q) = \sigma(2^{m-1}) \sigma(q)}}$وبما أن
$\displaystyle{\displaylines{N}}$ عدد كامل لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(N) = 2N}}$. إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(2^{m-1}) \sigma(q) = 2N}}$.
ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(2^{m-1}) = \sum_{k=0}^{m-1} 2^k = 2^{m} - 1}}$لدينا أيضا :
$\displaystyle{\displaylines{ N = 2^{m-1} q}}$أي أن
$\displaystyle{\displaylines{(2^{m} - 1) \sigma(q) = 2 N = 2^{m} q \quad (\star)}}$.
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{2^{m} - 1}}$ تقسم
$\displaystyle{\displaylines{2^{m} q}}$ و لدينا
$\displaystyle{\displaylines{(2^{m} - 1) \wedge 2^{m} = 1}}$ إذن حسب
مبرهنة Gauss لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{2^{m} - 1}}$ يقسم
$\displaystyle{\displaylines{q}}$ومنه يوجد
$\displaystyle{\displaylines{r}}$ من
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^{*}}}$ بحيث :
$\displaystyle{\displaylines{q = (2^{m} - 1) r}}$نعوض قيمة
$\displaystyle{\displaylines{q}}$ في
$\displaystyle{\displaylines{\star}}$ :
$\displaystyle{\displaylines{(2^{m} - 1) \sigma(q) = 2^{m} (2^{m} - 1) r}}$.
ومنه لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(q) = 2^{m} r}}$
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{q = (2^{m} - 1) r}}$إذا افترضنا أن
$\displaystyle{\displaylines{r \neq 1}}$ لدينا الآتي :
$\displaystyle{\displaylines{1}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{r}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{(2^m - 1) r}}$ هي قواسم مختلفة للعدد
$\displaystyle{\displaylines{q}}$ و بالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(q) = 2^{m} r \geq 1 + r + (2^m - 1) r}}$.
وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{0 \geq 1}}$ تناقض !!
أي أن
$\displaystyle{\displaylines{r = 1}}$
إذا رمزنا لمجموعة الأعداد الأولية بالتالي
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{P}}}$ لدينا الآتي :
$\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{P} \iff \sigma(n) = n+1}}$وهي ناتجة عن كون القواسم الوحيدة للعدد
$\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذا كان أوليا هي
$\displaystyle{\displaylines{1}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{n}}$.
لدينا حسب ما سبق :
$\displaystyle{\displaylines{q = 2^m - 1}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{\sigma(q) = 2^m = q+1}}$وبالتالي العدد
$\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد أولي.
لدينا كما يبين التمرين التالي :
تمرين حول أعداد ميرسن, لدينا الآتي :
$\displaystyle{\displaylines{(2^p-1) \in \mathbb{P} \implies p \in \mathbb{P}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{m \in \mathbb{P}}}$وبالتالي العددين
$\displaystyle{\displaylines{m}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{2^m - 1}}$ أوليان
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{N = 2^{m-1} (2^{m} - 1)}}$ بحيث العددين
$\displaystyle{\displaylines{m}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{2^m - 1}}$ أوليين.
إذن العدد
$\displaystyle{\displaylines{N}}$ عدد أقليدس بحيث
$\displaystyle{\displaylines{N = E_m}}$