الرياضيات بالعربية

تمرين حول الأعداد الكاملة

ليكن $n \in \mathbb{N}^{*}$, نرمز بــ$\sigma(n)$ لمجموع قواسم $n$ الموجبة.

لدينا : $\sigma(n) = \sum_{d | n}d$.

نعطي : $a \wedge b = 1 \Rightarrow \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)$.

نقول عن عدد $a \in \mathbb{N}^{*}$ أنه كامل إذا وفقط إذا كان $\sigma(a) = 2a$.

نقول عن عدد $E_p$ أنه عدد أقليدس إذا وفقط إذا كان : $E_p = 2^{p-1} (2^p - 1)$
بحيث $p$ و $2^p - 1$ عددين أوليين.


1) أوجد جميع قواسم العدد $E_p$.

2) استنتج أن جميع أعداد أقليدس كاملة.

3) ليكن $N$ عدد كامل زوجي, بين أنه يوجد $m,q$ عددين من $\mathbb{N}^{*}$ بحيث : $N = 2^{m-1} q$ و $q$ عدد فردي.

4) بين أنه يوجد $r \in \mathbb{N}^{*}$ بحيث : $q = (2^m - 1) r$ و $\sigma(q) = 2^m r $.

5) بين أن $r = 1$.

6) بين أن $m$ و $2^m -1$ أعداد أولية.

7) استنتج أن $ N = E_m$.
لدينا : $E_{p} = 2^{p-1} (2^p - 1)$ بحيث $p$ و $2^p - 1$ أوليان.

إذن قواسم العدد $E_p$ هي :

$2^0,2^1,...,2^{p-1},2^0(2^p - 1),2^1(2^p - 1),...,2^{p-1}(2^p - 1)$



لدينا :

$\begin{array}{rcl}\sigma(E_p) & = & 2^0+2^1+\cdots +2^{p-1} \\& & +2^0(2^p - 1)+2^1(2^p - 1)+\cdots +2^{p-1}(2^p - 1) \\& = & 2^p\Big(2^0+2^1+\cdots +2^{p-1}\Big) \\& = & 2^p\dfrac{2^p-1}{2-1} = 2^p(2^p-1) \\& = & 2 \, 2^{p-1}(2^p-1) \\& = & 2 \, E_p\end{array}$


وبالتالي فإن الأعداد $E_p$ هي أعداد كاملة.


لدينا $N$ عدد زوجي وبالتالي فإن $N$ يكتب على الشكل $N = 2^{m-1} q$ بحيث $m-1$ أكبر أس بحيث $2^{m-1}$ يقسم $N$.

لاحظ أن $q$ عدد فردي و $m-1 \neq 0$ لأن $N$ زوجي.

إذن :

$\exists (m,q) \in \mathbb{N^{*}}^{2} \, : \, N = 2^{m-1} q$ و $q$ عدد فردي.


نعلم أن $a \wedge b = 1 \Rightarrow \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)$

لدينا $ N = 2^{m-1} q$ بحيث $q$ عدد فردي.

لدينا إذن : $2^{m-1} \wedge q = 1$ وبالتالي لدينا :

$\sigma(N) = \sigma(2^{m-1} q) = \sigma(2^{m-1}) \sigma(q)$

وبما أن $N$ عدد كامل لدينا : $\sigma(N) = 2N$. إذن :

$\sigma(2^{m-1}) \sigma(q) = 2N$.

ولدينا : $\sigma(2^{m-1}) = \sum_{k=0}^{m-1} 2^k = 2^{m} - 1$

لدينا أيضا : $ N = 2^{m-1} q$

أي أن $(2^{m} - 1) \sigma(q) = 2 N = 2^{m} q \quad (\star)$.

لدينا $2^{m} - 1$ تقسم $2^{m} q$ و لدينا $(2^{m} - 1) \wedge 2^{m} = 1$

إذن حسب مبرهنة Gauss لدينا : $2^{m} - 1$ يقسم $q$.

ومنه يوجد $r$ من $\mathbb{N}^{*}$ بحيث : $q = (2^{m} - 1) r$

نعوض قيمة $q$ في $\star$ : $(2^{m} - 1) \sigma(q) = 2^{m} (2^{m} - 1) r$.

ومنه لدينا : $\sigma(q) = 2^{m} r$.


لدينا $q = (2^{m} - 1) r$

إذا افترضنا أن $r \neq 1$ لدينا الآتي :

$1$ و $r$ و $(2^m - 1) r$ هي قواسم مختلفة للعدد $q$ و بالتالي :

$\sigma(q) = 2^{m} r \geq 1 + r + (2^m - 1) r$.

وبالتالي :

$0 \geq 1$ تناقض !!

أي أن $r = 1$.


إذا رمزنا لمجموعة الأعداد الأولية بالتالي $\mathbb{P}$ لدينا الآتي :

$n \in \mathbb{P} \Leftrightarrow \sigma(n) = n+1$

وهي ناتجة عن كون القواسم الوحيدة للعدد $n$ إذا كان أوليا هي $1$ و $n$.

لديـــــــــــــــــــــنا :

$q = 2^m - 1$ و $\sigma(q) = 2^m = q+1$

وبالتالي العدد $q$ عدد أولي.

لدينا كما يبين التمرين التالي : تمرين حول الأعداد الأولية, لدينا الآتي :

$(2^p-1) \in \mathbb{P} \implies p \in \mathbb{P}$.

إذن : $m \in \mathbb{P}$.

وبالتالي العددين $m$ و $2^m - 1$ أوليان.


لدينا : $N = 2^{m-1} (2^{m} - 1)$ بحيث العددين $m$ و $2^m - 1$ أوليين.

إذن العدد $N$ عدد أقليدس بحيث $N = E_m$.