Lagrida
Accueil Math en arabe
تمرين حول الأعداد الكاملة

تمرين حول الأعداد الكاملة

ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}^{*}}}$, نرمز بــ$\displaystyle{\displaylines{\sigma(n)}}$ لمجموع قواسم $\displaystyle{\displaylines{n}}$ الموجبة.

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\sigma(n) = \sum_{d | n}d}}$.

نعطي : $\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1 \implies \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)}}$.

نقول عن عدد $\displaystyle{\displaylines{a \in \mathbb{N}^{*}}}$ أنه كامل (nombre parfait) إذا وفقط إذا كان $\displaystyle{\displaylines{\sigma(a) = 2a}}$.

أمثلة : $\displaystyle{\displaylines{6, 28, 496, 8128}}$ أعداد كاملة.

نقول عن عدد $\displaystyle{\displaylines{E_p}}$ أنه عدد أقليدس إذا وفقط إذا كان : $\displaystyle{\displaylines{E_p = 2^{p-1} (2^p - 1)}}$
بحيث $\displaystyle{\displaylines{p}}$ و $\displaystyle{\displaylines{2^p - 1}}$ عددين أوليين.


ليكن $\displaystyle{\displaylines{E_p}}$ عدد أقليدس.

1) أوجد جميع قواسم العدد $\displaystyle{\displaylines{E_p}}$.

2) استنتج أن جميع أعداد أقليدس كاملة.

3) ليكن $\displaystyle{\displaylines{N}}$ عدد كامل زوجي, بين أنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{m,q}}$ عددين من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^{*}}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{N = 2^{m-1} q}}$ و $\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد فردي.

1.3) بين أنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{r \in \mathbb{N}^{*}}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{q = (2^m - 1) r}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\sigma(q) = 2^m r }}$.

2.3) بين أن $\displaystyle{\displaylines{r = 1}}$.

3.3) بين أن $\displaystyle{\displaylines{m}}$ و $\displaystyle{\displaylines{2^m -1}}$ أعداد أولية.

4.3) استنتج أن $\displaystyle{\displaylines{ N = E_m}}$.
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{E_{p} = 2^{p-1} (2^p - 1)}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{p}}$ و $\displaystyle{\displaylines{2^p - 1}}$ أوليان.

إذن قواسم العدد $\displaystyle{\displaylines{E_p}}$ هي :

$\displaystyle{\displaylines{1,2,2^2, \cdots ,2^{p-1},(2^p - 1),2(2^p - 1),\cdots,2^{p-1}(2^p - 1)}}$



لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\sigma(E_p) & = & 1+2+2^2+\cdots +2^{p-1} \\& & +(2^p - 1)+2(2^p - 1)+2^2(2^p - 1)\cdots +2^{p-1}(2^p - 1) \\& = & 2^p\Big(1+2+2^2+\cdots +2^{p-1}\Big) \\& = & 2^p\dfrac{2^p-1}{2-1} = 2^p(2^p-1) \\& = & 2 \, 2^{p-1}(2^p-1) \\& = & 2 \, E_p\end{array}}}$


وبالتالي فإن الأعداد $\displaystyle{\displaylines{E_p}}$ هي أعداد كاملة.


لدينا $\displaystyle{\displaylines{N}}$ عدد زوجي وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{N}}$ يكتب على الشكل $\displaystyle{\displaylines{N = 2^{m-1} q}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{m-1}}$ أكبر أس بحيث $\displaystyle{\displaylines{2^{m-1}}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{N}}$.

لاحظ أن $\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد فردي و $\displaystyle{\displaylines{m-1 \neq 0}}$ لأن $\displaystyle{\displaylines{N}}$ زوجي.

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\exists (m,q) \in \mathbb{N^{*}}^{2} \, : \, N = 2^{m-1} q}}$ و $\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد فردي.


لدينا $\displaystyle{\displaylines{ N = 2^{m-1} q}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد فردي.

لدينا إذن : $\displaystyle{\displaylines{2^{m-1} \wedge q = 1}}$

نعلم أن $\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1 \implies \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)}}$

وبالتالي لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\sigma(N) = \sigma(2^{m-1} q) = \sigma(2^{m-1}) \sigma(q)}}$

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{N}}$ عدد كامل لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\sigma(N) = 2N}}$. إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\sigma(2^{m-1}) \sigma(q) = 2N}}$.

ولدينا : $\displaystyle{\displaylines{\sigma(2^{m-1}) = \sum_{k=0}^{m-1} 2^k = 2^{m} - 1}}$

لدينا أيضا : $\displaystyle{\displaylines{ N = 2^{m-1} q}}$

أي أن $\displaystyle{\displaylines{(2^{m} - 1) \sigma(q) = 2 N = 2^{m} q \quad (\star)}}$.

لدينا $\displaystyle{\displaylines{2^{m} - 1}}$ تقسم $\displaystyle{\displaylines{2^{m} q}}$ و لدينا $\displaystyle{\displaylines{(2^{m} - 1) \wedge 2^{m} = 1}}$

إذن حسب مبرهنة Gauss لدينا : $\displaystyle{\displaylines{2^{m} - 1}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{q}}$

ومنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{r}}$ من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}^{*}}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{q = (2^{m} - 1) r}}$

نعوض قيمة $\displaystyle{\displaylines{q}}$ في $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ : $\displaystyle{\displaylines{(2^{m} - 1) \sigma(q) = 2^{m} (2^{m} - 1) r}}$.

ومنه لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\sigma(q) = 2^{m} r}}$


لدينا $\displaystyle{\displaylines{q = (2^{m} - 1) r}}$

إذا افترضنا أن $\displaystyle{\displaylines{r \neq 1}}$ لدينا الآتي :

$\displaystyle{\displaylines{1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{r}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(2^m - 1) r}}$ هي قواسم مختلفة للعدد $\displaystyle{\displaylines{q}}$ و بالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{\sigma(q) = 2^{m} r \geq 1 + r + (2^m - 1) r}}$.

وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{0 \geq 1}}$ تناقض !!

أي أن $\displaystyle{\displaylines{r = 1}}$


إذا رمزنا لمجموعة الأعداد الأولية بالتالي $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{P}}}$ لدينا الآتي :

$\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{P} \iff \sigma(n) = n+1}}$

وهي ناتجة عن كون القواسم الوحيدة للعدد $\displaystyle{\displaylines{n}}$ إذا كان أوليا هي $\displaystyle{\displaylines{1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{n}}$.

لدينا حسب ما سبق :

$\displaystyle{\displaylines{q = 2^m - 1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\sigma(q) = 2^m = q+1}}$

وبالتالي العدد $\displaystyle{\displaylines{q}}$ عدد أولي.

لدينا كما يبين التمرين التالي : تمرين حول أعداد ميرسن, لدينا الآتي :

$\displaystyle{\displaylines{(2^p-1) \in \mathbb{P} \implies p \in \mathbb{P}}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{m \in \mathbb{P}}}$

وبالتالي العددين $\displaystyle{\displaylines{m}}$ و $\displaystyle{\displaylines{2^m - 1}}$ أوليان


لدينا : $\displaystyle{\displaylines{N = 2^{m-1} (2^{m} - 1)}}$ بحيث العددين $\displaystyle{\displaylines{m}}$ و $\displaystyle{\displaylines{2^m - 1}}$ أوليين.

إذن العدد $\displaystyle{\displaylines{N}}$ عدد أقليدس بحيث $\displaystyle{\displaylines{N = E_m}}$
Accueil Math en arabe
تمرين حول الأعداد الكاملة
التعليقات :
إضافة تعليق