الرياضيات بالعربية

مبرهنة Bézout

ليكن $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ غير منعدمين.

متساوية Bézout تنص على :

$a \wedge b = d \Rightarrow \exists (u,v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=d$

تنص مبرهنة Bézout على الآتي :

$a \wedge b = 1 \Leftrightarrow \exists (u,v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1$


من أجل البرهنة على المتساوية والمبرهنة نضع :

$A = \{k \in \mathbb{N}^{*} \, | \, k = na+bm ; (n,m)\in \mathbb{Z}^2\}$

$d = a \wedge b$

1) بين أن $A$ غير فارغة ومصغورة.

2) بوضعك $d_1 = \min A$ بين أن $d | d_1$.

3) بين أن $d_1$ يقسم $a$ و $b$.

4) استنتج متساوية Bézout.

5) بين أن متساوية Bézout غير صحيحة في الاستلزام الآخر.

6) بين مبرهنة Bézout.
لدينا $a,b$ أعداد من $\mathbb{Z}^{*}$.

$A = \{k \in \mathbb{N}^{*} \, | \, k = an+bm ; (n,m)\in \mathbb{Z}^2\}$.

$|a| = a \times c + b \times 0$.

مع $c = \left\{\begin{matrix}1 ; a >0 \\ -1; a <0\end{matrix}\right.$

ولدينا : $|a| \in \mathbb{N}^{*}$.

إذن $|a| \in A$ و $A$ غير فارغة.

وبما أن $A \subset \mathbb{N}$ و $\mathbb{N}$ مصغورة فإن $A$ مصغورة.


بما أن $A$ مصغورة و $A \subset \mathbb{N}$ فإنه يوجد $d_1$ بحيث : $d_1 = \min A$.

لدينا : $d_1 \in A \Leftrightarrow \exists (n,m) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, d_1= an+bm$

لدينا $d = a \wedge b$ إذن $d | a$ و $d | b$.

إذن $d | an+bm=d_1$

خلاصة $d | d_1$


نقوم بالقسمة الأقليدية للعدد $a$ على $d_1$ لدينا :

$a = d_1q + r$ مع $0 \leq r <d_1$

إذن $r = a - d_1 q$

نعوض القيمة $d_1 = an+bm$

لدينا إذن : $r = a (1 - qn) - b(mq)$.

لدينا $r = 0$ وإلا فإن $r \in A$ وهذا تناقض كون $r < d1 = \min A$.

إذن $r=0$ وبالتالي $a = d_1 q$

إذن $d_1$ يقسم $a$.

بالمثل نبين أن $d_1$ يقسم $b$.


كما بينا سابقا $d | d_1$.

ولدينا $d_1 | a$ و $d_1 | b$ إذن $d_1 | a \wedge b = d$

إذن $d_1 | d$

العددين $d$ و $d_1$ موجبين إذن $d = d_1 = an+bm$

وبالتالي : $\exists (n, m) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, d = an+bm$.


يكفي وضع مثال مضاد. لدينا :

$3 \times 5 + 7 \times (-1) = 8$ لكن لدينا : $3 \wedge 7 \neq 8$.

إذن عكس متساوية Bézout ليس صحيح.


مبرهنة Bézout :

$a \wedge b = 1 \Leftrightarrow \exists (u,v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1$

1) الإستلزام الأول : نفترض أن $a \wedge b = 1$.

لدينا حسب متساوية Bézout : $\exists (u,v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1$.

2) الآن نفترض أن $\exists (u,v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1$.

نضع $d = a \wedge b$ لنبين أن $d = 1$.

لدينا $d | a$ و $d | b$ إذن $d | au+bv = 1$

وبالتالي $d=1$

إذن $a \wedge b = 1$