مبرهنة Bézout

لدينا $\displaystyle{\displaylines{a,b}}$ أعداد من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{Z}^{*}}}$.

ولدينا $\displaystyle{\displaylines{A = \{k \in \mathbb{N}^{*} \, | \, k = an+bm ; (n,m)\in \mathbb{Z}^2\}}}$.

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{|a| = a \times c + b \times 0}}$

مع $\displaystyle{\displaylines{c = \left\{ \begin{array}{cl}1 & : \ a > 0 \\-1 & : \ a < 0\end{array} \right.}}$

ولدينا : $\displaystyle{\displaylines{|a| \in \mathbb{N}^{*}}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{|a| \in A}}$ وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{A}}$ غير فارغة

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{A \subset \mathbb{N}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{N}}}$ مصغورة فإن $\displaystyle{\displaylines{A}}$ مصغورة.

---

بما أن $\displaystyle{\displaylines{A}}$ مصغورة و $\displaystyle{\displaylines{A \subset \mathbb{N}}}$ فإنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{d_1}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{d_1 = \min A}}$.

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{d_1 \in A \iff \exists (n,m) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, d_1= an+bm}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{d = a \wedge b}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{d | a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{d | b}}$.

إذن $\displaystyle{\displaylines{d | an+bm=d_1}}$

خلاصة $\displaystyle{\displaylines{d | d_1}}$

---

نقوم بالقسمة الأقليدية للعدد $\displaystyle{\displaylines{a}}$ على $\displaystyle{\displaylines{d_1}}$ لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{a = d_1q + r}}$ مع $\displaystyle{\displaylines{0 \leq r <d_1}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{r = a - d_1 q}}$

ولدينا : $\displaystyle{\displaylines{d_1 = an+bm}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{r = a (1 - qn) - b(mq)}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{r = 0}}$ وإلا فإن $\displaystyle{\displaylines{r \in A}}$ وهذا تناقض كون $\displaystyle{\displaylines{r < d1 = \min A}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{r=0}}$ وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{a = d_1 q}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{d_1}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a}}$

بالمثل نبين أن $\displaystyle{\displaylines{d_1}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{b}}$.

---

كما بينا سابقا $\displaystyle{\displaylines{d | d_1}}$

ولدينا $\displaystyle{\displaylines{d_1 | a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{d_1 | b}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{d_1 | a \wedge b = d}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{d_1 | d}}$

العددين $\displaystyle{\displaylines{d}}$ و $\displaystyle{\displaylines{d_1}}$ موجبين إذن $\displaystyle{\displaylines{d = d_1 = an+bm}}$

وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{\exists (n, m) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, d = an+bm}}$

---

يكفي وضع مثال مضاد. لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{3 \times 5 + 7 \times (-1) = 8}}$ لكن لدينا : $\displaystyle{\displaylines{3 \wedge 7 \neq 8}}$

إذن عكس متساوية Bézout ليس صحيح

---

مبرهنة Bézout :

$\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1 \iff \exists (u,v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1}}$

1) الإستلزام الأول : نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1}}$.

لدينا حسب متساوية Bézout : $\displaystyle{\displaylines{\exists (u,v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1}}$

2) الآن نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{\exists (u,v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1}}$

نضع $\displaystyle{\displaylines{d = a \wedge b}}$ لنبين أن $\displaystyle{\displaylines{d = 1}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{d | a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{d | b}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{d | au+bv = 1}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{d=1}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{a \wedge b = 1}}$