مبرهنة Wilson

ليكن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي. لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{align*} (p-1)!+1\equiv 0[p] & \iff \exists k\in\mathbb{Z}:(p-1)!+1=kp \\ & \iff \exists k\in\mathbb{Z}:kp-(p-1)!=1 \quad (\star) \end{align*}}}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{m \in \{1,...,p-1\}}}$ لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{(p-1)! = 1 \times 2 \times ... \times m \times ....\times (p-1) = m \times k_1}}$

وبالتالي حسب $\displaystyle{\displaylines{(\star)}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{kp-mk_1 = 1}}$ ومنه وحسب مبرهنة Bezout فإن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall m \in \{1,...,p-1\} \, : \, p \wedge m = 1}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي

---

ليكن $\displaystyle{\displaylines{p \in \mathbb{P}}}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \{1,...,p-1\}}}$, لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{n \wedge p = 1}}$ إذن حسب مبرهنة Bezout :

$\displaystyle{\displaylines{\exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, \alpha n + \beta p = 1}}$

وبالتالي لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\alpha n = 1 - \beta p \equiv 1 [p]}}$

بإجراء القسمة الأقليدية للعدد $\displaystyle{\displaylines{\alpha}}$ على $\displaystyle{\displaylines{p}}$ لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\exists (q, a) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \, : \, \alpha = pq + a}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{0 \leq a < p}}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\alpha n = pqn + an \equiv 1[p]}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{\exists a \in \{1,...,p-1\} \, : \, n \, a \equiv 1 [p] }}$.

الآن لنبين وحدانية العدد a.

نفترض أنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{a_1 \in \{1,...,p-1\}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{n \, a_1 \equiv 1 [p]}}$.

$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}n \, a & \equiv \ 1[p] \\n \, a_1 & \equiv \ 1[p]\end{array} \right. \implies n(a-a_1)\equiv 0[p]}}$

وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{n(a-a_1)}}$

بما أن $\displaystyle{\displaylines{n \in \{1, \cdots,p-1\}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{p}}$ عدد أولي فإن $\displaystyle{\displaylines{n \wedge p = 1}}$

إذن حسب مبرهنة Gauss : $\displaystyle{\displaylines{p}}$ يقسم $\displaystyle{\displaylines{a-a_1}}$

وحيث أن $\displaystyle{\displaylines{|a-a_1| < p}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{|a-a_1| = 0}}$, إذن :

$\displaystyle{\displaylines{a = a_1}}$ ومنه وحدانية العدد $\displaystyle{\displaylines{a}}$

---

ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \{1,...,p-1\}}}$ سوف نحل المعادلة التالية : $\displaystyle{\displaylines{n^2 \equiv 1 [p]}}$

لاحظ أننا حللنا المعادلة $\displaystyle{\displaylines{n \, a \equiv 1 [p]}}$ من أجل $\displaystyle{\displaylines{a = n}}$

لدينا انطلاقا من الحلول أن الأعداد التي تقبل نفسها كمقلوب هي $\displaystyle{\displaylines{1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{p-1}}$, والأعداد الأخرى مقلوباتها مختلفة إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \{2,..,p-2\} \, \exists ! a \in \{2,..,p-2\} \, n \neq a \, : \, n \, a \equiv 1[p]}}$

---

ليكن $\displaystyle{\displaylines{p \in \mathbb{P}}}$

لدينا:

$\displaystyle{\displaylines{(p-1)!=1\times\bigg(2 \times 3 \times \dots \times (p-2)\bigg) \times (p-1)}}$
ولدينا:

$\displaystyle{\displaylines{\forall n\in\{2,3,\cdots,p-2\},\,\exists ! a\in \{2,3,\cdots,p-2\} \ , n \neq a \ : \ na\equiv 1[p]}}$

في صيغة $\displaystyle{\displaylines{(p-1)!}}$ نقوم بتجميع الأعداد داخل القوسين الكبيرين كل عدد مع مقلوبه ، أي كل عددين يحققان $\displaystyle{\displaylines{na\equiv 1[p]}}$ نجمّعهما مع بعض، فنجد:

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}(p-1)! & \equiv & 1\times\bigg(2 \times 3 \times \dots \times (p-2)\bigg) \times (p-1)[p] \\ & = & 1\times\bigg(\underset{\frac{p-3}{2}\,fois}{\underbrace{1\times 1 \times\cdots \times1}}\bigg)\times(p-1)[p] \\ & = & p-1[p] \\ & = & -1\end{array}}}$
وبالتالي لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{(p-1)!+1\equiv 0[p]}}$