الرياضيات بالعربية

تمرين إثبات القسمة الأقليدية

القسمة الأقليدية في $\mathbb{Z}$ :

$(\forall (a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{*}) \, (\exists !(q,r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}) \, : a = bq+r$
بحيث : $0 \leq r < |b|$

القسمة الأقليدية في $\mathbb{N}$ :

$(\forall (a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{*}) \, (\exists !(q,r) \in \mathbb{N}^{2}) \, : a = bq+r$
بحيث : $0 \leq r < b$


للبرهان على القسمة الأقليدية نعتبر المجموعة : $A = \{n \in \mathbb{Z} \, | \, nb>a \}$.
وليكن $(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*}$ :

1) بين أن $A$ غير فارغة ثم أنها مصغورة بــ $-|a|$.

2) بأخذك $n= \min A $ بين أنه يوجد $(q,r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ بحيث : $a = bq+r$ و $0 \leq r < |b|$.

3) بين العلاقة من أجل $b \in \mathbb{Z}^{*}$.

4) بين وحدانية العددين $q$ و $r$.

5) برهن على القسمة الأقليدية من أجل الأعداد الصحيحة الطبيعية

لدينا : $A = \{ n \in \mathbb{Z} \, | \, nb > a \}$

نضع : $k = (1+|a|)$ لدينا $k \in A$ وبالتالي المجموعة $A$ غير فارغة.

إذا أخذنا $m$ بحيث $m < -|a|$ وحيث أن $1 \leq b$ لدينا :

$mb < -|a|b \leq -|a| \leq a$

إذن لدينا $m \notin A$ وبالتالي المجموعة $A$ مصغورة بـ$-|a|$.


بما أن $A \subset \mathbb{Z}$ و $A$ مصغورة إذن يوجد $n \in A$ بحيث : $ n = \min A$.

لدينا : $a < nb$.

ولدينا $(n-1)b \leq a$ لأن $n = \min A$ إذن $(n-1) \notin A$.

وبالتالي : $(n-1)b \leq a < nb$

نضع $q = n-1$. لدينا : $qb \leq a < qb+b$.

وبالتالي : $0 \leq a - qb < b$.

نضع $r = a - qb$. لدينا :

$a = bq + r $ بحيث $0 \leq r < b$.


من أجل $b<0$ نضع $c = -b$.

لدينا $c > 0$ إذن يوجد $(q,r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ بحيث : $a = c q + r$ مع $0 \leq r < c$.

$a = (-b) q + r$ مع $0 \leq r < |-b|$.

أي أن $a = b (-q) + r$ مع $0 \leq r < |-b|$.


نفرض أنه توجد ثنائيتين $(q_1,r_1),(q_2,r_2)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$ بحيث $0\leqslant r_1,r_2<|b|$ تحققان:

$a=bq_1+r_1=bq_2+r_2$

$\Rightarrow b(q_1-q_2)=r_2-r_1 \quad \cdots(1)$

وبما أن $0\leqslant r_1,r_2<|b|$ فإن:

$\begin{align*}-|b|<r_2-r_1<|b| & \Rightarrow-|b|<b(q_1-q_2)<|b| \\ & \Rightarrow -1<q_1-q_2<1 \\ & \Rightarrow q_1-q_2=0 \\ & \Rightarrow q_1=q_2\end{align*}$

وبالعودة إلى المعادلة $(1)$ نجد:

$r_2-r_1=0\Rightarrow r_2=r_1$
ومنه وحدانية الثنائية $(q,r)$ .


البرهان الذي قمنا به من أجل $(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{*}$.

إذا كان $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{*}$. يمكننا استخدام نفس البرهان بأخذ : $A = \{n \in \mathbb{N} \, | \, nb > a\}$ و استخدام نفس الخطوات من أجل $b > 0$.

لاحظ أنه بوضع : $n = \min A > 0$ لدينا : $q = n-1 \geq 0$ إذن $q \in \mathbb{N}$.

و $0 \leq r = a - bq < b$