الرياضيات بالعربية

مبرهنة فيرما الصغرى

مبرهنة فيرما الصغرى

ليكن $p$ عدد أولي و $n$ عدد صحيح طبيعي . الهدف من هذا التمرين هو البرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى التي تنص على :

« $ \implies n^p \equiv n[p]$ $p$ أولي »


ليكن $p$ عدد أولي و $n$ عدد صحيح طبيعي :

1 - بين أن :
$ \forall k \in \{1, .... , p-1 \} \,\, : \, p | C^k_{p} $

2 - استنتج أن :
$ \forall (a, b) \in \mathbb{N}^2 \, : \, (a+b)^p \equiv a^p + b^p [p] $

3 - استنتج مبرهنة فيرما الصغرى .
تذكيــــــــر : $ a \equiv b [p] \Leftrightarrow p | (a - b)$ .


1 - لدينا : $ \forall k \in \{1, .... , p-1 \} \,\, : \, C^k_{p} = \frac{p!}{k! (p-k)!}$ .

إذن : $(1) \,\,\, p! = k! (p-k)! C^k_{p}$ .

لدينا $ k \in \{1, .... , p-1 \} $ .

إذن :

$ k < p $ و $ p-k < p $ .

لدينا $p$ أولي إذن $\forall k \in \{1, .... , p-1 \} \, $ :

$p \wedge k = 1$ و $ p \wedge (p-k) = 1 $ .

إذن $ \forall k \in \{1, .... , p-1 \} \,$ :

$ p \wedge k! = 1 $ و $ p \wedge (p-k)! = 1 $ .

من $(1)$ لدينا :

$p$ يقسم $p!$ إذن $p$ يقسم $ k! (p-k)! C^k_{p} $ .

بمـــا أن : $ p \wedge k! = p \wedge (p-k)! = 1 $ وحسب مبرهنة غوص فإن :

$ p | C^k_{p} $ $\forall k \in \{1, .... , p-1 \} \,\, : $ .


ليكن : $(a, b) \in \mathbb{N}^2$ :

يكفي أن نستعمل حدانية نيوتن binôme de Newton :

$ (a + b)^p = \sum^{p}_{k=0} C^k_{p} a^k \, b^{p-k}$ .

$ (a + b)^p = a^p + b^p + \sum^{p-1}_{k=1} C^k_{p} a^k \, b^{p-k} $ .

لدينا : $\forall k \in \{1, .... , p-1 \} \,\, : \, p | C^k_{p}$ إذن

$ \sum^{p-1}_{k=1} C^k_{p} a^k \, b^{p-k} \equiv 0 [p] $ .

إذن :

$(a + b)^p \equiv a^p + b^p [p] $ .


لنبين بالترجع مبرهنة فيرما الصغرى :

من أجل $n = 0$ لدينا : $0^p \equiv 0[p]$ صحيح ;

نفترض أن $ n^p \equiv n[p] $ .

لنبين أن $ (n+1)^p \equiv n+1 [p] $ .

لديــــــنا كما بينا سابقا

$ \forall (a, b) \in \mathbb{N}^2 \, : \, (a+b)^p \equiv a^p + b^p [p] $ .

من أجل $a = n$ و $b = 1$ لدينا :

$(n+1)^p \equiv n^p+1 [p]$.

فرضية الترجع : $ n^p \equiv n[p] $ .

إذن :

$(n+1)^p \equiv n+1 [p]$ .

إذن حسب البرهان بالترجع لدينا :

$ \implies n^p \equiv n[p]$ $p$ أولي